Teorema de Rolle
Páginas: 3 (557 palabras)
Publicado: 1 de noviembre de 2014
Teorema de Rolle & Teorema de LaGrange ó Teorema del valor medio del cálculo diferencial.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervaloabierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un casoespecial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Si f es continua de a,b, diferenciable en a,b y f=a= fb= 0, existe al menos un número c en a,b tal que f'c= 0En estascondiciones existe al menos un punto del interior del intervalo xo∈(a,b) en el que se anula la derivada primera: f'x0=0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
El teorema asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva es horizontal.Para ir de a a b, al ser la función continua, o bienva recta (función constante) o, en al menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.
fx=|x|Si no se verifican las condiciones del enunciado, no podemos garantizar laexistencia del punto; aunque este punto pueda existir, siempre dependerá de la función de que se trate.
EJEMPLO 1
Sea f(x) = Dec(x) = x - [x] y f: [0,1]→ R. f no es continua en b = 1. Se cumplen lascondiciones (2) y (3) y es f´(x) = 1 en (0,1), por lo que no existe tal punto.
EJEMPLO 2
Sea f(x) = |x| en [-1,1]. f no es derivable en 0. Se verifican las condiciones (1) y (3), pero no existe talpunto.
EJEMPLO 3
Sea f(x) = x en [0,1]. f es continua y derivable en el intervalo, pero f(0) = 0 =/= 1 = f(1). Como f´(x) = 1, no existe tal punto.
EJEMPLO 4
Sea f(x) = |x2 - 1| en[-2,2]. f es continua en [-2,2], pero no es derivable ni en -1 ni en 1, puntos interiores del intervalo; y sin embargo para x0 = 0 es f´(0) = 0.
Teorema de LaGrange ó Teorema del valor medio del cálculo...
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervaloabierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un casoespecial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Si f es continua de a,b, diferenciable en a,b y f=a= fb= 0, existe al menos un número c en a,b tal que f'c= 0En estascondiciones existe al menos un punto del interior del intervalo xo∈(a,b) en el que se anula la derivada primera: f'x0=0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
El teorema asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva es horizontal.Para ir de a a b, al ser la función continua, o bienva recta (función constante) o, en al menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.
fx=|x|Si no se verifican las condiciones del enunciado, no podemos garantizar laexistencia del punto; aunque este punto pueda existir, siempre dependerá de la función de que se trate.
EJEMPLO 1
Sea f(x) = Dec(x) = x - [x] y f: [0,1]→ R. f no es continua en b = 1. Se cumplen lascondiciones (2) y (3) y es f´(x) = 1 en (0,1), por lo que no existe tal punto.
EJEMPLO 2
Sea f(x) = |x| en [-1,1]. f no es derivable en 0. Se verifican las condiciones (1) y (3), pero no existe talpunto.
EJEMPLO 3
Sea f(x) = x en [0,1]. f es continua y derivable en el intervalo, pero f(0) = 0 =/= 1 = f(1). Como f´(x) = 1, no existe tal punto.
EJEMPLO 4
Sea f(x) = |x2 - 1| en[-2,2]. f es continua en [-2,2], pero no es derivable ni en -1 ni en 1, puntos interiores del intervalo; y sin embargo para x0 = 0 es f´(0) = 0.
Teorema de LaGrange ó Teorema del valor medio del cálculo...
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