Teorema De Rolle

Teorema de Rolle

-DEFINICIÓN: El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719).
En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un puntointerior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del queeste es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Si f es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f esdiferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
En la figura que se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las trescondiciones que requiere el Teorema: f es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la gráfica de f esparalela al ejex, es decir donde se cumple que f '(c) = 0.

El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada la conclusión del mismo. Esta se refiere alpunto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de la función sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente sean iguales a cero. En la figura de la izquierda se ilustra este hecho.

TEOREMA DELVALOR MEDIO:
Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c quepertenece a (a, b) tal que

Enunciado
Si  es una función continua definida en un intervalo cerrado  , derivable sobre el intervalo abierto  y , entonces:
Existe al menos un punto  perteneciente alintervalo  tal que .

Demostración
Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este...