Teorema de stokes

Cap´ıtulo 13
Los teoremas de Stokes y
Gauss
En este ´ultimo cap´ıtulo estudiaremos el teorema de Stokes, que es una
generalizaci´on del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de
uncampo vectorial sobre una curva cerrada que es borde de una superficie
param´etrica simple con la integral de su rotacional en dicha superficie; y
tambi´en el teorema de Gauss de la divergencia,que puede verse como una
versi´on tridimensional del teorema de Green, al relacionar la integral de un
campo vectorial en una superficie cerrada que es borde de un s´olido tridimensional
con laintegral de su divergencia en el interior de dicho s´olido. En
realidad estos tres teoremas pueden verse como generalizaciones del segundo
teorema fundamental del c´alculo a funciones de variasvariables, y a su
vez son casos particulares de una versi´on general del teorema de Stokes para
variedades diferenciables de dimensi´on arbitraria que se estudia en cursos superiores
(para enunciar ydemostrar este teorema m´as general se requiere el
desarrollo de una teor´ıa de formas diferenciales y el uso de particiones diferenciables
de la unidad, lo que no haremos en este curso por falta detiempo;
el lector interesado puede consultar el libro de Michael Spivak C´alculo en
variedades, editorial Revert´e, 1988).
Para enunciar el teorema de Stokes para superficies en R3 necesitamos
definirlo que es el rotacional de un campo vectorial. Si F : A ! R3 es un
campo vectorial de clase C1 definido en un abierto A de R3, se define el
rotacional del campo F = (P, Q,R), y se denota por rotF ,como
rotF =

i j k
@
@x
@
@y
@
@z
P Q R

=

@R
@y
−
@Q
@z

i+

@P
@z
−
@R
@x

j+

@Q
@x
−
@P
@y

k.
141
142 CAP´ITULO 13. TEOREMAS DE STOKES YGAUSS
Teorema 13.1 (de Stokes) Sea S una superficie param´etrica simple con
borde @S, parametrizada por  : D ! S, donde D es la regi´on interior a
una curva cerrada simple C regular a trozos en...