teorema de stokes

El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George GabrielStokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de1850.1 2 3 Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre
El teorema fundamental del cálculo establece que laintegral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:

Para laF elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplicaa formas diferenciales mayores en vez de F.
En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dospuntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debeser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, elteorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervaloda una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es...