Teorema de tales de mileto

{draw:frame} Teorema de Tales de Mileto
Considérese los segmentos a, b, c y d de la figura 1. La razón de dos segmentos es el cociente de sus medidas.
La razón de los segmentos a y b es a/b = 5/4 = 1.25
La razón de los segmentos c y d es c/d = 2.5/2 = 1.25
{draw:frame} Como las razones son iguales, se dice que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d; esto seexpresa a/b = c/d.
Obsérvese las paralelas a, b y c y la secante r de la figura 2. Las paralelas determinan dos segmentos congruentes AB y BC, esto es: AB = BC.
Si las rectas paralelas cortan cualquier otra secante, por ejemplo, t, los segmentos A’B’ y B’C’ que éstas determinan también son iguales.
En efecto, los triángulos A’MB’ y B’NC’ son congruentes porque:
A’M = AB por ser ladosopuestos del paralelogramo AA’MB y B’N = BC por ser lados opuestos del paralelogramos BB’NC. Como AB = BC, entonces A’M = B’N.
{draw:frame} Por otro lado, {draw:frame} NC’B’ = {draw:frame} MB’A’ por ser correspondientes y B’MA’ = C’NB’ por ser ángulos de lados paralelos. Resulta que los triángulos A’MB’ y B’NC’ tienen tres ángulos y un lado correspondientes que guardan congruencia, por lo cual lasfiguras son congruentes. Por tanto, A’B’ = B’C’.
Considérese las rectas paralelas a, b, c y d, que cortan a las rectas secantes r y t en la figura 3. Los segmentos AB y CD de la recta r cumplen esta condición: CD = 2AB.
¿Qué relación hay entre los segmentos A’B’ y C’D’?
C’D’ también es el doble de A’B’, esto es: C’D’ = 2A’B’.
Con estos segmentos se puede escribir la siguienteproporción:
CD/C’D’ = 2AB/2A’B’ = AB/A’B’
Esta es la proporcionalidad entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:
AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’ = CD/C’D’ = k
La cantidad k se llama constante de proporcionalidad.
Nótese que la proporción AB/A’B’ = AC/ A’C’ también puede escribirse AB/AC = A’B’/A’C’
Teorema de Tales de Mileto
Si varias paralelas son cortadaspor dos secantes, los segmentos determinados en una secante son proporcionales a los determinados en la otra.
El teorema de Tales se puede aplicar para dividir un segmento en el número de partes iguales que se quiera.
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El segmento AB se divide en tres partes iguales del siguiente modo:
Se traza una recta cualquiera que pase por un extremo de AB, digamos A, y formecon AB un ángulo menor que 180º. En el dibujo, esta recta se representa con rojo. {draw:frame}
Se elige un segmento u arbitrario y se marca sobre la recta roja tres veces consecutivas; el punto P, correspondiente a la última división, se une con B. {draw:frame}
Se trazan paralelas a PB por los puntos M y N, con lo cual se obtienen los puntos M’ y N’, que dividen el segmento ABen tres partes iguales. {draw:frame}
Los segmentos AM, MN y NP son iguales; entonces, por el teorema de Tales, AM’, MN’ y N’B también son iguales.
Semejanza
Tales determinó la altura de la pirámide de Keops, aprovechando la sombra que ésta producía en un determinado momento, aquél en el que la longitud de la sombra era igual a la de la pirámide (los rayos del Sol deben tener unainclinación de 45º), perpendicular a la base. Debido a la situación de la pirámide de Keops, en Gizeh, a 30º de latitud en el hemisferio norte, sólo hay dos posibilidades para que Tales realizara esta medición, el 21 de noviembre o el 20 de enero.
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Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia.
Son cinco susteoremas geométricos:
Todo diámetro bisecta a la circunferencia.
Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Sobre el conocido Teorema de Tales, tal...