Teorema de tales

TEOREMA DE TALES Y TEMAS RELACIONADOS
Antes de demostrar el Teorema de Tales, demostremos un resultado previo que utilizaremos mas adelante.
El resultado es el siguiente. Si tres o masparalelas determinan segmentos iguales en una transversal a estas, entonces determinarán segmentos iguales en cualquier otra transversal a estas, ver fig.1.
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Fig. 1
Para la demostraciónde este teorema haremos uso de lo siguiente: En cualquier paralelogramo lados opuestos son iguales. Sean A, B, C y D las intersecciones de las paralelas con una transversal tal queAB*=BC=CD** y sean**A', B', C' y D'** las intersecciones de las mismas paralelas con otra transversal por demostrar que **A'B'=B'C'=C'D'**. Trazamos paralelas a **A'D'** por **A, B y C**; sean **P, Q y R** lasintersecciones de estas paralelas con **BB', CC' y DD'** respectivamente, los triángulos **ABP, BCQ y CDR** son congruentes ya que **AB=BC=CD** y además ** {draw:frame} *BAP= * {draw:frame} *CBQ= * {draw:frame}*DCR y {draw:frame} *PBA= * {draw:frame} *QCB= * {draw:frame} *RDC** esto implica que **AP=BQ=CR** pero por construcción los cuadriláteros **AA'B'P, BB'C'Q y CC'D'R** son paralelogramos y por elresultado dado al principio de la demostración tenemos**AP*=A'B', BQ=B'C' y CR=C'D' por ser lados opuestos y esto es lo que se deseaba demostrar.
Dado este resultado demostremos ahora el Teorema deTales: La razón de los segmentos determinados por tres o mas paralelas en una transversal es igual a la razón de los segmentos determinados por estas mismas paralelas en cualquier otra transversal.Basandonos en la figura 2 lo que se quiere demostrar es: AB/BC=A'B'/B'C'.
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Fig. 2
Supongamos que las magnitudes de los segmentos AB y BC son conmensurables, esto es, dada una ciertaunidad podemos dividir el segmento AB en n veces y al segmento BC en m veces esta unidad conn y m enteros positivos, hacemos dicha división entonces tenemos que AB/BC=n/m; por los puntos de división...