Teorema De Tales

TEOREMA DE TALES
1* Dado un experimento aleatorio, y considerado los eventos A1, A2,…,Ak del espacio muestral de tal forma que:
* Para cualquier par de eventos i y j, se tiene que Ai, Aj son mutuamente excluyentes, es decir que Ai Ω Aj = ᴓ
* La unión de todos los eventos es S, es decir que:
A1 U A2 U … U AK los eventos son mutuamente exhaustivos.
Setiene el siguiente teorema llamado ley de la probabilidad total:
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Si A1, A2,…, Ak son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces para cualquier evento B se tiene, P(B) = P(B|A1) X P(A1) + P(B|A2) X P(A2) + … + P(B|AK) X P(AK)

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SiA1, A2,…, Ak son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces para cualquier evento B se tiene, P(B) = P(B|A1) X P(A1) + P(B|A2) X P(A2) + … + P(B|AK) X P(AK)




Una ilustración de esta situación para k = 4 es:
A2
A2
A3
A3
B
B
A1
A1
A4A4
A
A

Del esquema se tiene que:
P(B)= P(A1 Ω B) + P(A2 Ω B) + P(A3 Ω B) + P(A4 Ω B)
= P(B|A1) X P(A1) + P(B|A2) X P(A2) + P(B|A3) X P(A3) + P(B|A4) X P(A4)

EJEMPLO:
1*Un Nuevo modelo de cámara filmadora se ha lanzado al mercado en tres versiones: con memoria extendida, versión de lujo y versión económica.
Adicionalmente, si uncliente se compra la filmadora se le ofrece un televisor de plasma a mitad de precio.
El departamento de ventas reporto que, para la semana anterior, el 63% de las cámaras vendidas eran versión económica, el 26% era con memoria extendida y el resto eran versiones de lujo. El 12% de los compradores de la versión económica compraron el televisor, el 32% de los compradores de la versión con memoriaextendida compraron el televisor y el 43% de los compradores de la versión de lujo compraron el televisor. Si se seleccionan al azar un cliente ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado el televisión.
SOLUCION
Sean:
A1, El evento que consiste en que el cliente compra la versión económica.
A2, El evento que consiste en que el cliente compra la versión con memoria extendida.
A3, Elevento que consiste en que el cliente compra la versión de lujo.
Se tiene que A, A, A, son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Además:
P(A1) = 0,63, P(A2) = 0,26, P(A3) = 0,11
Sea B el evento que consiste en que el cliente compra el televisor de plasma a mitad de precio. Se sabe que: P(B|A1) = 0,12, P(B|A2) = 0,32, P(B|A3) = 0,43
Usando la ley de probabilidadtotal se tiene que:
P(B) = 0,12 X 0,63 + 0,26 X O,32 + 0,43 X 0,11 = 0,2061
En conclusión, el 20,61% de los clientes compraron el televisor de plasma.
2-Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona unproducto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?
SOLUCION:
a. Definiremos los eventos;
D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)
A =evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C
*P(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)
P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016)
= 0.0052/0.04456...