Teorema De Tales

Homotecia y Teorema de Tales


Homotecia:
Dado un punto O del plano y un número real k distinto de 0, se llama homotecia de centro O y razón k a una transformación geométrica del plano que cumplelas siguientes condiciones:
A) El transformado de todo punto P del plano, distinto de O, es otro punto P’ que pertenece a la recta OP’
B) P’ es tal que
C) Si k es positivo, P’ estásobre la semirrecta OP; mientras que si k es negativo, P’ estará sobre la semirrecta opuesta
Ejemplos:
* Homotecia de centro O y razón 2;



* Homotecia decentro O y razón -2;

* En una homotecia, el centro O se transforma en sí mismo y es un punto fijo. Como el transformado P’ de un punto P está alineado con P y con O, resulta que lostransformados de los puntos de cualquier recta r que pase por el centro serán también puntos r: toda recta que pasa por el centro de homotecia se transforma en sí misma y se dice por ello que es una recta dobleo invariante. En cuanto a una recta que no pase por el centro de homotecia, ésta se transformará en otra recta paralela a ella; en efecto, supongamos la recta r determinada por los puntos P y Q, ysea R un punto cualquiera de R:

Si k es la razón de la homotecia, se cumplirá que:

Así pues, los triángulos OPQ y OP’ Q serán semejantes, ya que tendrán un ángulo igual y los lados que lo formanserán proporcionales; en consecuencia, por el teorema de Tales, PQ y P’Q’ serán lados paralelos y la recta r’ determinada por P’Q’ será paralela a la recta r. Por las mismas razones se tendrá que QR yQ’R’ serán también lados paralelos y que la recta determinada por Q’ y R’ será paralela a la recta r; dado que por el punto Q’ sólo pasa una recta paralela a la recta r, resultará que, por unahomotecia, r se transforma en una recta r’ paralela a ella. La misma figura muestra que, por la semejanza de los triángulos OPQ y OP’Q’, se cumple:

Así pues, en una homotecia de razón k, la razón...