Teorema De Tangente De La Parabola

ASIGNACION DE CALCULO 1
TEMA: TANGENTE NORMAL Y SUB NORMAL DE LA PARABOLA
PROFESOR:MARIO PIMENTEL
INTEGRANTES:
CHAUPIN GUZMAN, KELLY
TUPAC YUPANQUI,RENZO
VASQUEZ RONCEROS,EVELYN
GUTIERRES PACHECO,GABRIELA
DE LA CRUZ MORALES,K SOFIA
Lo arreglas bien la caratula porfa

ECUACION DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA PARABOLA

La ecuación de la tangente y normal a la parábola lo veremos deacuerdo a la posición de la parábola.
1° para la parábola de la ecuación y² = 4 px

La recta secante LS corta a la parábola en los puntos P 1 ( x1 , y 1 ) y P 2 ( x2 , y2 ), de donde la pendiente de LS es:

mLS=Y2-Y1X2-X1

Como los puntos p1 ( x1 , y2 ) , p2 (x2 , y2) pertenecen a la parábola y2 = 4px entonces y22 = 4px2 ^ y12 = 4 px1 de donde: y 22 – y12= 4p ( x2 – x1 )
( y2 – y1) ( y2 + y1 ) = 4p ( x2 – x1 ) por lo tanto:

Y2-Y1 X2-x1 =4py2+y1

Luego de (1) y (2) la pendiente de la recta LS es:
mLs= 4py2+y1

La pendiente de LS es decir mLS = 4py2 + y1 se transforma en la pendiente de la recta tangente cuando y1 = y2 es decir:
mLt=2py1

Por lo tanto la educación de la recta tangente a la parábola y2 = 4px en elpunto
p1 (x1 – y1) es:

Lt:Y-Y1=2PY1 ( X – X1 )

Como Lt ┴ LN mLN = - 1=1mLt= Y12p
Luego la ecuación de la recta normal es:

LN :Y-Y1=Y12P( X-X1 )

La ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola ( y – k )2 = 4p ( x – h ) en el punto P1 ( y1 , y1 ), se deduce en la misma forma que el casoanterior por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la parábola ( y – k )2 = 4p ( x – h ) que pasa por el punto P1 ( x1 – y1 ) es:
Lt: y-y1= 2py1-k ( x-x1 )

y la ecuación de la recta en p1 ( x1 , y1 ) es:
LN: Y-Y1=Y1-K2P ( X-X1 )

2° par la parábola de ecuación x2 = 4py.

La recta secante LS corta a la parábola en los puntos P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) , donde lapendiente de LS es:
mLs=y2-y1x2-x1

Como los puntos P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) pertenece a la parábola X2 = 4 py entonces se tiene:
X22= 4py ^ X 21 = 4py1 X22 - X 21 = 4P ( Y2 – Y1 )
( X2 + X1 ) ( X2 – X1 ) = 4P ( Y2 – Y1 ) de donde

y2-y1x2-x1 = x2+x14p

Remplaza (4) en (3) se tiene: mLS = x2+x14p
La pendiente de la recta secante mLS = x2+x1 4p se transformaen pendiente de la recta tangente cuando x1 = x2 es decir:

mLt= X12P

Por lo tanto la educación de la recta tangente a la parábola x2 = 4 py en el punto P1 ( x1 , x1) es dado por:
Lt: y-y1- 2PX1 X-X1

Como Lt ┴ LN mLN=-+1mLt= -2px1
Luego la educación dela recta es:
LN=Y-Y1= - 2PX1 (X-X1 )

La ecuación de la recta tangente y normal a la parábola ( x – h )2 = 4p( y – k ) en elpunto P1 ( x1 , y1 ). se deduce en la misma forma que el caso anterior:
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la parábola ( x – h)2 = 4p ( y – k ) P1 ( x1, y1 ) es:
Lt :y-y1= x1-h 2p ( x-x1 )

Y la educación de la recta normal en el punto P1 ( x1, x1) es:

LN: Y-Y1=- 2PX1-h( x-x1 )

TEOREMAS:

I) TEOREMA.
La tangente a la parábola y² = 4 px en cualquierpunto P1( X1,Y1) de la curva tiene por ecuación

L1=Y1Y= 2P (X+X1)

DEMOSTRACION
La ecuación de la recta tangente en el punto P1(X1, Y1) es

L1: Y -Y1= m(X-X1)………… (A)

Donde el valor de m debemos determinar, entonces:

Y2= 4px (Y1 + m(X-X1))2 =4px de donde
Y=Y1 + m(X-X1)

m2x2 + (2my1 - 2m2x1- 4p) x + (y12+m2x12-2mx1y1) = 0
X= - (2my1-2m2x1-4p) (2my1 + 2m2x1 -4p) 2 -4m2(y21 + m2x21-2mx1y1)
2m2
Mediante la condición de tangencia se tiene
(2my1 - 2m2x1- 4p) 2 -4m2(y12 +m2x12-2mx1y1) = 0
De donde x1m2 – y1m + p

M= Y1 y21-4px1 ………… (I)

2x1

Como P1(X1,Y1) pertenece a la...