Teorema de Taylor

Teorema De Taylor

Los valores de una función y de sus derivadas de orden superior en un punto de su dominio proporcionan información importante sobre su comportamiento alrededor de ese punto.Por ejemplo, si todas las derivadas de orden de la función se anulan en un intervalo, entonces la función es un polinomio de grado , como se muestra en la proposición siguiente.
Proposicion: si: es una función que pose derivada de orden en cada punto ϵ con





DEMOSTRACION. Consideremos la función


Derivando obtenemos,

Por lo tanto es constante y

Y podemosescribir


Como y son puntos arbitrarios de los podemos intercambiar y obtener


En el caso de funciones con derivadas de orden superior, el teorema del valor medio permite dar unaestimación de la diferencia entre la función y el polinomio construido como en la proposición. Este nuevo resultado se conoce como , el cual presentamos a continuación.
Consideremos una funciónreal que tenga derivadas de orden en cada punto de . Tomemos un punto y definamos el polinomio de grado mediante

Directamente podemos verificar que los valores de y , asi como de susuderivadas hasta orden coinciden en el punto . Es decir,

Al polinomio se le llama el

TEOREMA:



que



DEMOSTRACION: Si , aplicando el teorema del valor medio en el intervalo a lafunción


Se tiene

Calculando directamente el termino , se tiene


Reacomodando los índices de la última suma en la forma

Y sustituyendo en obtenemos que el error es

Donde es unpunto en el intervalo
EJEMPLO: Aplicando la formula para el residuo, calcule el error que se comete al evaluar usando el polinomio de Taylor de orden 1 en el punto
Solucion: Sea y consideremos supolinomio de Taylor de orden 1 alrededor de ,

Por el teorema de Taylor, se tiene que

Con


Con un error de acotado por

Ya que . En conclusión,

Con un error menor que 0.01....