Teorema De Taylor

TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I ⊂  →  y a ∈ I . Diremos que f es derivable en a si existe y es finito el límite: lim
h→0

fa  h − fa fx − fa lim l x−a h x→a

En este caso, el límite se designa por f ´a y recibe el nombre de derivada de f en a. Si este límiteexiste cuando h → 0  ó h → 0 − , a este límite se le llama derivada por la derecha ó derivada por la izquierda de f en a (derivadas laterales) y se escriben como f  ´a, f − ´a respectivamente. Proposición: La condición necesaria y suficiente para que una función sea

derivable en un punto es quelas derivadas laterales existan y sean iguales. Definición: (Función derivable en un intervalo)Sea I un intervalo abierto y f : I →  una función. Si f es derivable en cada uno de los puntos de I diremos que f es derivable en I. Diremos que f es derivable en un intervalo a, b siempre que sea derivable en el intervalo abiertoa, b y, además, existan las derivadas laterales f  ´a y f − ´b 5.1.2 Interpretación geométrica de la derivada 1.De entre todas las rectas que pasan por el puntoa, fa, la tangente es la que mejor aproxima a la curva y  fx en las proximidades de x  a. 2. La ecuacion de la recta tangente en el punto x  a sería:

y  fa  f´ax − a 3. Si la función admite derivada por la derecha en el punto x  a, entonces puede hablarse de semitangente por la derecha a la curva en el punto a, fa. Dicha semitangente es la semirecta: y  fa  f ´ax − a xa Análogamente, si existe la derivada por la izquierda f´ − a, se define la semitangente por la izquierda. De hecho si tiene derivadas laterales finitas y distintas, la gráfica presenta un pico en el punto x  a y se suele decir que el punto a es un punto anguloso. 4. Si f´a  0, la tangente a la curva y  fx en el punto a es una recta horizontal. 5. La recta perpendicular a la tangente enel punto a, fa es la normal a la curva en dicho punto. La ecuación de la normal a f en a, si

f´a ≠ 0 es: y  fa − 1 x − a f´a

Si f´a  0, la normal sería x  a 6. En el caso en el que fa  h − fa lim  . h h→0 La gráfica va presentar una tangente vertical.

5.1.3 Tabla de derivadas Función fx c constante x 1 n x  x n x log a x (a  0 log x a x a  0 exDerivada f´x 0 x −1
1 n n x n−1 1 2 x 1 x log a

1 x 1 −1  n n

1 x a x log a ex

senx cos x tgx cot gx arcsenx arccos x arctgx shx chx

cos x −senx 1  tg 2 x  1 cos 2 x −1 sen 2 x

−1 − cot 2 x  1 1 − x2 −1 1 − x2 1 1  x2 chx shx

5.2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 5.2.1 Continuidad de las funciones derivables Teorema: Si f es derivable en x  a  f es continua en x  a.El recíproco es falso. 5.2.2 Propiedades algebraicas Teorema: Sean f y g dos funciones reales definidas en I, si son derivables en x  a  i (f  g es derivable en x  a, siendo f  g ´a  f ´a  g ´a ii (fg es derivable en x  a, siendo fg ´a  f ´aga  g ´afa f iii g es derivable en x  a, si ga ≠ 0, siendo

f g

´

a 

f ´aga − g ´afa ga 2vi kf es derivable en x  a, k ∈ , siendo kf ´a  kf ´a 5.2.3 Derivada de la función compuesta y del la inversa Teorema: Sean f : I →  y g : J →  con fI ⊂ . Si f es derivable en el punto x  a y g es derivable en fa ∈ J, entonces h  g ∘ f es derivable en x  a y su derivada es: g ∘ f  ´a  g ´faf ´a. Teorema: Sea f : A →  derivable en x  a, con f ´a ≠ 0, y sea f −1 :fA →  la inversa de f, cuya existencia suponemos. Entonces f −1 es derivable en fa y se cumple. f −1  ´b  1 f ´f −1 b

5.3 EXTREMOS LOCALES DE FUNCIONES Definición: Sea f : I ⊂    una función definida en un intervalo I , y sea x 0 un punto interior de I, diremos que x 0 es un máximo relativo si fx 0  ≥ fx ∀ x ∈ x 0 − , x 0   ∩ I. Diremos que x 0 es un mínimo...