Teorema de Tchebycheff

Teorema de Tchebysheff
La aplicación en simulación


Contenido
Teorema de Tchebysheff
•4

Aplicación del teorema de
Tchebysheff en simulación
•5

Anexo: Pafnuti Tchebysheff
•6Bibliografía
•7





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Teorema de Tchebysheff
La desigualdad de Tchebysheff es uno de los resultados más importantes e
interesantes en la teoría de la probabilidad [Valencia et al., 2012]. Esteresultado
establece que, cualquiera que sea la forma de una distribución de frecuencia de
población [Rhoda, 2013], si 𝑋 es una variable aleatoria y 𝐸 𝑋 es la esperanza de 𝑋,
la cual existe,entonces
𝑉(𝑋)
𝑃 𝑋 − 𝐸(𝑋) ≥ 𝜖 ≤ 2
𝜖
para todo 𝜖 ≥ 0, donde 𝑉(𝑋) es la varianza de la variable aleatoria 𝑋 [Degrot,
1988],[Ibarrola et al., 1997].
La demostración de esta desigualdad se basa en ladesigualdad de Markov, la cual
dice lo siguiente: Si 𝑋 es una variable aleatoria, entonces
𝐸 𝑋 𝑛
𝑃 𝑋 ≥ 𝜖 ≤
𝜖𝑛
para todo 𝜖 ≥ 0 y todo entero positivo 𝑛.
La estimación que la desigualdad de Chebyshevda a la probabilidad del evento
𝑋 − 𝐸(𝑋) ≥ 𝜖 ; puede ser muy buena. Esta probabilidad generalmente es
menor que
𝑉(𝑋)
𝜖2
y en consecuencia este valor es una buena sobre estimación de
𝑃

𝑋 − 𝐸(𝑋)≥ 𝜖

Una de las aplicaciones principales de las desigualdades de tipo Chebyshev es el
de aproximar o estimar probabilidades de la forma 𝑃 𝑋 − 𝐸(𝑋) ≥ 𝜖 por medio
de calculo de cotas ver [Meyer,1970].



Marzo, 2014

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Aplicación del teorema de
Tchebysheff en simulación
Cálculo del número óptimo de simulaciones
El objetivo de determinar un número óptimo de simulaciones es laconfiabilidad de
los valores de respuesta de las variables; esto se logra estabilizando las variables
de respuesta través del tiempo, por lo cual es necesario realizar 𝑛 simulaciones
hasta estabilizarel sistema.
En el caso de que los datos analizados no se distribuyan de manera normal o
cuando se desconoce la distribución de los mismos, se hace uso del el teorema de
Tchebysheff de la siguiente...