teorema de thales

Si  es un número primo, entonces para cada número  el número    es divisible en .
Ejemplo: Tomamos  un número primo, entonces  es divisible en  sea  un número entero cualquiera (positivo, negativo ocero).
Fermat sostenía que tenía una demostración del teorema, pero según le cuenta a Frenicle de Bessy, esta era demasiado extensa para incluirla en la carta. El primero en demostrar el teorema fueGottfried Leibniz en un manuscrito en 1683 que no llegó a publicar. La primera demostración publicada, casi cien años después, es de Leonhard Euler, quien en 1736 la presentó en un artículo tituladoTheorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio.
Hasta los inicios del siglo XX este teorema era conocido como “teorema de Fermat” , en 1913 el matemático Kurt Hensel en su libroZahlentheorie lo rebautiza como “pequeño teorema de Fermat” tal como se conoce actualmente.
Si bien parace que demostrar este teorema requiere de una matemática avanzada, es sorprendente encontrar quepuede demostrarse de manera sencilla y directa utilizando nada más que inducción matemática y el teorema del binomio.
A continuación el desarrollo la demostración:
(1) Sea  un número primo:Si    divisible en 
Si    divisible en 
(2) Suponemos que si para todos los valores positivos de  tenemos que  es divisible en por inducción matemática la hipótesis es válida también para , entonces tenemos que:
 esdivisible en 
 es divisible en 
Por Teorema del Binomio sabemos que:

Hacemos pasaje de términos y obtenemos:

   (1)
En el lado derecho de la ecuación (1) encontramos que cada coeficiente  con  esdivisible en . Por la propia definición de  tenemos que:
  aquí  divide la parte derecha de la ecuación. Para todos los coeficientes de la expresión,  es un valor menor a , entoces el factor primo  noocurre en el producto  , por lo tanto  divide a .
Entonces como  divide a cada coeficiente del lado derecho de la ecuanción (1), debe dividir también a la expresión completa del lado derecho y...