Teorema de Transporte de Reynolds
Páginas: 2 (306 palabras)
Publicado: 10 de diciembre de 2015
Teorema de Transporte de Reynolds.
El teorema de transporte de Reynolds relaciona la derivada Lagrangiana de una integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadasEulerianas. En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva con la generación y el flujo de la propiedad intensivacorrespondiente, una y otra relacionadas por la ecuación:
La expresión general de este teorema es:
Demostración:
Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo t y t+δt. Sea α algunapropiedad por unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra en la figura:
La cantidad total de la propiedad α en el sistema en elinstante t es:
Y la cantidad de α en el instante t+ es:
La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar:
Que se obtiene de la definición dederivada:
En esta ecuación:
Se representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura:
Y estas dos integrales se pueden reducir a:
Si consideramos que unelemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+ , el barrido de ésta superficie entre los dos instantesconforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura:
Si es el vector normal a la superficie y representa la velocidad, será la velocidad normal a la superficie. En eltiempo la superficie se mueve una distancia normal a la misma. Por lo que:
La integral se reduce a la integral sobre la superficie:
Tomando el límite se simplifica a:
Aplicandoel teorema de Gauss esta integral toma la forma:
Dos términos de la ecuación pueden simplificarse como:
Con estas simplificaciones toma la forma:
En notación indical:
El teorema de transporte de Reynolds relaciona la derivada Lagrangiana de una integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadasEulerianas. En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva con la generación y el flujo de la propiedad intensivacorrespondiente, una y otra relacionadas por la ecuación:
La expresión general de este teorema es:
Demostración:
Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo t y t+δt. Sea α algunapropiedad por unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra en la figura:
La cantidad total de la propiedad α en el sistema en elinstante t es:
Y la cantidad de α en el instante t+ es:
La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar:
Que se obtiene de la definición dederivada:
En esta ecuación:
Se representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura:
Y estas dos integrales se pueden reducir a:
Si consideramos que unelemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+ , el barrido de ésta superficie entre los dos instantesconforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura:
Si es el vector normal a la superficie y representa la velocidad, será la velocidad normal a la superficie. En eltiempo la superficie se mueve una distancia normal a la misma. Por lo que:
La integral se reduce a la integral sobre la superficie:
Tomando el límite se simplifica a:
Aplicandoel teorema de Gauss esta integral toma la forma:
Dos términos de la ecuación pueden simplificarse como:
Con estas simplificaciones toma la forma:
En notación indical:
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