Teorema De Valor Extremo

Sea f una función definida al menos en un intervalo abierto (a,b). Si f toma un valor extremo en un punto c de ese intervalo y siexiste f´(c) entoncesf´(c) = 0 Para construir el concepto de máximo o de mínimo es necesario construir una cuerda de f , que es elsegmento que une dos puntos del gráfico de la función f. Podemos observar, nuevamente de manera intuitiva que si existe al menos unatangente horizontal. Por ello presentamos el siguiente enunciado conocido como el teorema de Rolle o teorema del valor extremo, que diceasí:Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existeal menos un punto c en (a,b) tal que:f´(c) = 0Ejemplo: Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado[-1,1].Primero sabemos que en la función, con dominio en todos los números reales, y derivable en todo punto, la derivada es: f´(x)=2x, lo quenos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0. f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o unmínimo en dicho intervalo.El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado esteteorema garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada paralela al eje de las x´s.