Teorema de Wallace-Simson

(Teorema de Wallace-Simson) Si desde un punto P se trazan perpendiculares a los lados de un triángulo o a sus prolongaciones, los respectivos pies de las perpendiculares serán colineales si y sólosi el punto P pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo.
Es decir, no sólo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales, sinoque estos puntos son los únicos que poseen dicha propiedad.
 


Diagrama para la demostración.
Primero se demostrará que los puntos en la circunferencia tienen la propiedad de que los pies delas perpendiculares trazados desde ahí son colineales.
De acuerdo con el diagrama, sean ABC los lados del triángulo, X, Y, Z los pies de las perpendiculares respectivos sobre los lados CA, AB, BC ysupongamos P en el arco ACde la circunferencia circunscrita. La idea central de la prueba será demostrar que los ángulos CYX y AYZ son iguales y por tanto que XY y YZ forman una misma línea recta.
Dadoque los ángulos PXC y PYC son rectos, el cuadrilátero PYXC es un cuadrilátero cíclico y por tanto los ángulos CYX y CPX son iguales.
Además, los ángulos PYA y PZA son rectos, elcuadrilátero PYAZ también es cíclico y por tanto los ángulos AYZ y APZ son iguales.
Por otro lado, al ser los ángulos PXB y PZB rectos, el cuadrilátero PXBZ también es cíclico. Por tanto, los ángulos ABX y XPZ suman 180°.Finalmente, por construcción el cuadrilátero PABC es cíclico y por tanto los ángulos ABC y CPAsuman 180°.
De las dos últimas observaciones, dado que los ángulos ABX y ABC son iguales, se sigue quelos ángulos XPZ y CPA son iguales. Restando a ambos el valor del ángulo XPA resulta:

y por tanto
.
Así, siendo los ángulos CYX y AYZ son iguales y comparten AC como un lado, deben ser opuestos porel vértice y por tanto XYZ es una línea recta. Las distintas configuraciones que aparecen dependiendo de la posición relativa de P respecto a la posición de A, B, C se pueden reducir a la prueba...