Teorema del binomio de newton
Páginas: 2 (491 palabras)
Publicado: 30 de junio de 2010
TEOREMA DEL BINOMIO
INTRODUCCIÓN Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que 0 ≤ k ≤ n , entonces: (a + b)n =
k = 0
∑
n
( )an
k
n
− k
bk
Donde: ( )
kn
=
n! k!(n − k )!
Ejemplo:
Desarrolle ( a + b ) 4 . Respuesta: ( a + b )4
=
k = 0
∑
4 0
4
( )a4
k
4
– k
bk
4 2 2 2 3 4 4 4 4
= = TÉRMINO EMÉSIMO
( ) a 4b0 + ( ) a3 b1 + ( ) a2 b2 + ( ) a1 b3 + ( ) a0 b4
1 4 3 3
4
a + 4a b + 6a b + 4ab + b
Se determina el término emésimo haciendo k = m – 1 Ejemplo: Determine el quinto término en el desarrollode ( x + 2 ) 6 . Respuesta:
( x + 2 )6
=
k = 0
∑
6
( )x6
k
6
− k
2k
quinto término
⇒
6
m = 5
− 4
⇒ =
k = 4 16 ×
⇒ = 240 x 2
( )x6
4
24
6! x24! × 2!
∴ El quinto término es 240 x 2 .
TÉRMINO CENTRAL Para n par Cuando n es par, se determina el término central haciendo: k Ejemplo: = n 2
Determine el término central en el desarrollode ( p + q ) 8 . Respuesta:
(p + q )8
=
k = 0
∑
8
( )p8
k
8
− k
qk
k
=
8 2
=
4
⇒
( )p8
4
8
− 4
q4
=
8! p4 q4 4! × 4!
=
70 p 4 q 4∴ El término central es 70 p 4 q 4 . Para n impar Cuando n es impar, se determinan los términos centrales haciendo: k Ejemplo: = n − 1 2 y k = n + 1 2
Determine los términos centrales en eldesarrollo de ( a – b ) 7 . Respuesta:
(a − b)
7
=
k = 0
∑
7
( )a
k
7
7 − k
(− b)
k
=
k = 0 7 3 7 − 4
∑
7
( − 1)k ( ) a 7
k
7
− k
bk
k
=7 − 1 2 =
=
3
⇒
( − 1) 3 ( ) a 7
− 3
b3
=
−
7! a4 b3 3! × 4! 7! a3 b4 4! × 3!
=
− 35 a 4 b 3
k
7 + 1 2
=
4
⇒
( − 1) 4 ( ) a 7
4
b4
=
=35 a 3 b 4
∴ Los términos centrales son – 35 a 4 b 3 y 35 a 3 b 4 .
COEFICIENTE DE UNA POTENCIA Ejemplo: Calcule el coeficiente de x 5 en el desarrollo de ( 3 x 2 + 2 x ) 4 . Respuesta:...
INTRODUCCIÓN Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que 0 ≤ k ≤ n , entonces: (a + b)n =
k = 0
∑
n
( )an
k
n
− k
bk
Donde: ( )
kn
=
n! k!(n − k )!
Ejemplo:
Desarrolle ( a + b ) 4 . Respuesta: ( a + b )4
=
k = 0
∑
4 0
4
( )a4
k
4
– k
bk
4 2 2 2 3 4 4 4 4
= = TÉRMINO EMÉSIMO
( ) a 4b0 + ( ) a3 b1 + ( ) a2 b2 + ( ) a1 b3 + ( ) a0 b4
1 4 3 3
4
a + 4a b + 6a b + 4ab + b
Se determina el término emésimo haciendo k = m – 1 Ejemplo: Determine el quinto término en el desarrollode ( x + 2 ) 6 . Respuesta:
( x + 2 )6
=
k = 0
∑
6
( )x6
k
6
− k
2k
quinto término
⇒
6
m = 5
− 4
⇒ =
k = 4 16 ×
⇒ = 240 x 2
( )x6
4
24
6! x24! × 2!
∴ El quinto término es 240 x 2 .
TÉRMINO CENTRAL Para n par Cuando n es par, se determina el término central haciendo: k Ejemplo: = n 2
Determine el término central en el desarrollode ( p + q ) 8 . Respuesta:
(p + q )8
=
k = 0
∑
8
( )p8
k
8
− k
qk
k
=
8 2
=
4
⇒
( )p8
4
8
− 4
q4
=
8! p4 q4 4! × 4!
=
70 p 4 q 4∴ El término central es 70 p 4 q 4 . Para n impar Cuando n es impar, se determinan los términos centrales haciendo: k Ejemplo: = n − 1 2 y k = n + 1 2
Determine los términos centrales en eldesarrollo de ( a – b ) 7 . Respuesta:
(a − b)
7
=
k = 0
∑
7
( )a
k
7
7 − k
(− b)
k
=
k = 0 7 3 7 − 4
∑
7
( − 1)k ( ) a 7
k
7
− k
bk
k
=7 − 1 2 =
=
3
⇒
( − 1) 3 ( ) a 7
− 3
b3
=
−
7! a4 b3 3! × 4! 7! a3 b4 4! × 3!
=
− 35 a 4 b 3
k
7 + 1 2
=
4
⇒
( − 1) 4 ( ) a 7
4
b4
=
=35 a 3 b 4
∴ Los términos centrales son – 35 a 4 b 3 y 35 a 3 b 4 .
COEFICIENTE DE UNA POTENCIA Ejemplo: Calcule el coeficiente de x 5 en el desarrollo de ( 3 x 2 + 2 x ) 4 . Respuesta:...
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