Teorema Del Binomio Y El Triángulo De Pascal.

Teorema del binomio y el triángulo de Pascal.

El teorema del binomio da una expresión sencilla para (a+b)ⁿ, n entero no negativo. Uno está familiarizado con los casos n=2 y n=3, osea:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
El teorema del binomio da una expresión para todo n de la siguiente manera:
(a+b)ⁿ = nC0 a^n b^0 + nC1 a^(n-1) b^1 +nC2 a^(n-2) b^2 + ... + nC(n-1) a^1 b^(n-1) + nCn a^0 b^n
o de manera compacta: n Σ = nCk a^k b^(n-k) k=0
(Esto sólo significa sumar términos mientrascambiamos el índice k) Los coeficientes nCk, o bien escritos como:
(n) (k)
Se llaman números combinatorios, y se pueden calcular rápidamente de la siguiente manera; Se hace unarreglo de números de forma triangular de esta manera:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . .
Se colocan unos (1) en los lados del triángulo los elementos delinterior se calculan como la suma de los dos de "arriba". Mirando el triángulo que expuse se puede notar. Este arreglo de números se llama triángulo de Pascal.

Resulta que los númerosdel triángulo de Pascal son los números combinatorios. Veamos el triángulo de esta manera:
n/k| 0 1 2 3 4
--------------------
0 | 1
1 | 1 1
2 | 1 2 1
3 | 1 3 3 1
4| 1 4 6 4 1
Si el número es nCk, veamos las filas como n y las columnas como k. De esta manera podemos encontrar los números combinatorios.
Volviendo al teorema del binomio. Siqueremos calcular (x²+2y)⁴ usando la fórmula del binomio es:
4C0 (x²)⁴ (2y)º + 4C1 (x²)³ 2y + 4C2 (x²)² (2y)² + 4C3 x² (2y)³ + 4C4 (x²)º (2y)⁴
Encontramos los coeficientes deltriángulo de Pascal (mirando la fila 4):
(x²)⁴ (2y)º + 4 (x²)³ 2y + 6 (x²)² (2y)² + 4 x² (2y)³ + (x²)º (2y)⁴
Finalmente, hacemos las cuentas y:
(x²+2y)⁴ = x⁸ + 8x⁶y + 24x⁴y² + 32x²y³ + 16y⁴