teorema del binomio

TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio (a +b) como un polinomio.
FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO
Si a este binomiose le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:

Ejemplo

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

Ahora, si seintroduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVÉS DE COMBINACIONES
Si se multiplica el binomio por si mismo de forma reiterada seobtiene:

De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una generalización del desarrollo del binomio:

Que en forma condensada se puede escribir como:

Que es el teorema del binomio expresado através de combinaciones.

PARA ENCONTRAR EL N-ÉSIMO TÉRMINO DEL DESARROLLO SE APLICA LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:

Ejemplo.
Obtener el cuarto término de la expresión


TEOREMA DEL BINOMIO CONEXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS
La fórmula general para desarrollar el binomio (a+b)n también es aplicable en el caso de que el exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que a > by a >0.
Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma:

Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma:

Nótesecomo en este caso, los signos de los términos se alternan.
Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un número infinito de términos.
Ejemplo.
Obtener los seis primeros términos deldesarrollo

CÁLCULO DE RAÍCES POR MEDIO DEL BINOMIO
Una de las aplicaciones que tiene el desarrollo del binomio es que pueden extraerse raíces considerando que Esto es:


Para calcular la raízenésima de un número cualquiera, se descompone el número en dos sumandos, de forma tal que el primero sea la mayor potencia perfecta del orden de la raíz y posteriormente se expresa como factor...