Teorema del Binomio

TEOREMA DEL BINOMIO
Así se llama a un importante teorema del algebra que se basa en la multiplicación de expresiones polinomiales, por ejemplo:
( x + y )1 = x + y
( x + y )2 = x2 + 2 x y + y2( x + y )3 = ( x + y ) ( x + y )2 = ( x + y ) (x2 + 2 x y + y2 ) = x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3
Aplicando el mismo procedimiento tenemos:
( x + y )4 =
( x + y )5 =
( x + y )6 =
Para el desarrollode ( x + y )n siendo n un entero positivo cualquiera, tenemos el Teorema del binomio:
( x + y )n = C ( n,0) xn + C ( n ,1) xn=1 y + C ( n,2) xn-2 y2 + C ( n,3) xn-3 y3 + . . . C ( n,r) xn-r yr + .. . + C (n,n) yn
Siendo C( n, r) los coeficientes del teorema, que se obtienen de la tabla siguiente, donde los valores de r están anotados horizontalmente y los de n verticalmente. Esta tabla sepuede seguir desarrollando hasta n y r infinito.
  r
n
0
1
2
3
4
5
6
0
1
 
 
 
 
 
 
1
1
1
 
 
 
 
 
2
1
2
1
 
 
 
 
3
1
3
3
1
 
 
 
4
1
4
6
4
1
 
 
51
5
10
10
5
1
 
6
1
6
15
20
15
6
1
Ejemplo:
1.- Hallar el coeficiente C ( 5, 3 ).
Como n = 5 y r = 3, el punto de intersección de ambas líneas nos indica el coeficiente buscado,es decir, C = 10.
Como C ( n, r ), el número de combinaciones de n objetos tomados de r, esta expresión recibe el nombre de coeficiente binominal.
Del desarrollo de ( x + y )n , y si se numeran lostérminos de izquierda a derecha, se observan las siguientes propiedades:
1.- El desarrollo de ( x + y )n tiene ( n + 1 ) términos.
2.- El primer término del desarrollo es xn y el último términoes yn.
4.- Los exponentes de x disminuyen una unidad de término en término, los de y aumentan una unidad de término en término.
5.- En cada término, la suma de los exponentes de x y y esigual a n.
6.- Si en cualquier término se multiplica su coeficiente por el exponente de x en ese término y se divide entre el número de orden del término, el resultado es el coeficiente del...