Teorema Del Coseno

El teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.


Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ánguloo lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, esdecir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.

Demostraciones

Por desglose de áreas


Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de lasdemostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que , equivalente al Teorema del coseno.



Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra
En verde a², b² la izquierda y c²a la derecha.
En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.
Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da , como queríamos demostrar.

Por el teorema de Pitágoras
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tantosólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.


Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos
Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:
(left)
Pero, la longitud h también se calcula así:
(left)Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definición de coseno, se tiene:

y por lo tanto:

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:

con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.


Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura adjunta. El teorema dePitágoras establece nuevamente c2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:
.
De la definición de coseno, se tiene y por tanto:
.
Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente
.
Esto concluye la demostración.
Es importante notar, que si se considera...