Teorema Del Herror

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

En análisis real el teorema del valor intermedio o más correctamente teorema de los valores intermedios es una propiedad de las funciones continuas reales en un intervalo. El teorema establece que si una función es continua en un intervalo, la función toma todos los valores intermedios comprendidos entre los valores de la función en los extremos del intervalo.Como consecuencia del teorema de Weierstrass se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo, siendo los subconjuntos conexos de los números reales.
* El teorema del valor intermedio establece que:
Sea f una función continua en un intervalo [a, b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b), existe al menos un c dentro de (a,b) talque f(c) = u. |
La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a).
* DEMOSTRACIÓN:
El teorema puede demostrarse fácilmente aplicando el teorema de Bolzano (que se trata de un caso particular del teorema del valor intermedio cuando u=0) a la función también continua g(x) definida como g(x):=f(x)-x.
| Teorema del valor intermedio para funciones continúas: |
| Sea f una funcióndefinida y continua en cada punto de un intervalo. Sin y son dos puntos cualesquiera de tales que y, entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre y por lo menos una vez en el intervalo. |
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Gráficamente se tiene lo siguiente:

En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes. , siempre se encontrará un punto, comprendido entre y,tal que, cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.
Ejemplo:
Consideremos la función f con ecuación definida en el intervalo, cuya representación gráfica es la siguiente:

En este caso y (obviamente)

Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre y 4 cuya imagen esté comprendida en y.
Si existe, tal que
Si existe, tal que; en este caso
Esnecesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamente cuando la función es continua en un intervalo dado.

En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.

Por ejemplo, consideremos la función en el intervalo definida por la siguiente ecuación:

La representación gráfica es la siguiente:

Note que la función es discontinua en elintervalo, pues en, el no existe. Se tiene que y que.
Si se toma un valor k entre y 1, , no existe ningún valor C entre 0 y 2, tal que, pues la función nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una recta con ecuación, ésta nunca intersecaría a la curva.
De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se cumpla el Teorema.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Acontinuous function ƒ ( x ) on the closed interval [ a , b ] showing the absolute max (red) and the absolute min (blue). Una función continúa ƒ (x) en el intervalo cerrado [a, b] que muestra el máximo absoluto (rojo) y el mínimo absoluto (azul).
In calculus , the extreme value theorem states that if a real-valued function f is continuous in the closed and bounded interval [ a , b ], then f must attainits maximum and minimum value, each at least once. En el cálculo , el valor extremo teorema afirma que si un valor real la función f es continua en el cerrado y limitado intervalo [a, b], entonces f debe alcanzar su máximo y mínimo valor, cada uno por lo menos una vez. That is, there exist numbers c and d in [ a , b ] such that: Es decir, existen números c y d en [a, b] tal que:

A relatedtheorem is the boundedness theorem which states that a continuous function f in the closed interval [ a , b ] is bounded on that interval. Un teorema relacionado es el teorema de acotación que establece que una función f continua en el intervalo cerrado [a, b] es acotada en ese intervalo. That is, there exist real numbers m and M such that: Es decir, existen números reales m y M tales que:

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