Teorema del límite Central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribuciónde Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estasvariables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande
Sea la función de densidad de la distribución normal definida como1

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su funciónde densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianzaσ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterioruso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a ladistribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim serefiere a límite matemático.
Enunciado formal
De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:3
Teorema del límite central: Sea , , ..., un conjunto de variables aleatorias,independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2 distinta de cero. Sea

Entonces
.
Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral ,puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:4 5
Teorema (del límite central): Sea , , ..., un conjunto de variables aleatoria, independientes e...