teorema del límite

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TCL3) En una piscifactoría de 2000 m situada en el Cantábrico, la producción de salmón en kg por metro
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cúbico de agua es una variable aleatoria de media 5 kg/m y varianza 2. Los costes sehan evaluado en 2
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euros/m y el precio del kg de salmón en 6 euros/kg. Se pide:
a) ¿Probabilidad de obtener un beneficio superior a 45.000 euros?
b) Por razones de mercado sabemos que sólo untercio de la producción podrá venderse a 6
euros y el resto a 3 euros. Obtén un intervalo unilateral para los beneficios (confianza 95%)
(Examen 2006)

X 'producción de salmón en Kg/m3’
Volumenpiscifactoría= 2000 m3
Costes g= 2 €/m3 (constante)

v.a. X ≈ D (5;2)

Solución
a)
Y 'producción total de salmón en kilos’
v.a. Y =

∑

2000

i =1

L
X i →TCL N (10000;4000) ; z =

Y −10000
≈ N (0;1)
4000

para calcular la DP(Y) aproximada se aplica el TCL (Y es una TL de un número
grande n=2000 de v.a. independiente Xi)
E[Y]= ∑i=1,2000 E[Xi]= 2000 ·5= 10000
V[Y]= ∑i=1,2000V[Xi]= 2000·2 = 4000

I 'ingresos por la venta de la producción total de salmón’
v.a. I = 6·Y ≈ N (60000;144000) ;

z=

I − 60000
≈ N (0;1)
144000

la DP(I) es Normal por ser unatransformación lineal de Normales.
Donde precio = 6 €/kg (constante)
E[I]= E[6·Y]= 6· 10000 = 60000
V[I]= V[6·Y]= 62·4000 = 144000

B 'beneficios por la venta de la producción total de salmón’
v.a. B = I −4000 ≈ N (56000;144000) ;

z=

B − 56000
≈ N (0;1)
144000

la DP(B) es Normal por ser una transformación lineal de Normales.
E[B]= E[I-4000]= 56000
V[B]= V[I-4000]= V[I]-0 = 144000

Lapregunta es: ¿P(B>45000) = P ( z >

45000 − 56000
) = P( z > −28,98) ≅ 1
144000

Análisis: Es prácticamente seguro que los beneficios superarán los 45.000€

Resolución directa (definimosdirectamente la v.a. Beneficios):
B 'beneficios por la venta de la producción total de salmón’

∑

v.a. B = 6·

2000

i =1

L
X i − 4000 →TCL N (56000;144000) ; z =

B − 56000
≈ N (0;1)...