Teorema Del Muestreo

TEOREMA DE MUESTREO

TEOREMA DE MUESTREO
Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en1982 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E.Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise).
El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de susmuestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.
Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras queno esté perfectamente definido por la serie total de muestras.
Las señales que portan la información deben ser asequibles, ya sea en forma analógica o en forma digital o discreta. Habría que determinar que condiciones son necesarias para convertir una señal analógica en discreta, o viceversa, sin perder información. Como un criterio para conseguir esto, debe insistirse en que es posiblereconstruir en su totalidad la señal original por medio de filtros. El enlace entre la señal analógica y la señal discreta correspondiente es proporcionado por lo que se conoce como TEOREMA DEL MUESTREEO. Este teorema se puede enunciar en forma simple como:
“una señal de banda limitada de valor real sin componentes espectrales por encima de un a frecuencia de B Hz, se determina en forma univoca por susvalores equidistantes en intervalos no mayores que 1/(2B)” segundos.

Esta es una condición suficiente para que una señal analógica pueda ser totalmente reconstruida a partir de un conjunto de muestras discretas equidistantes en el tiempo. La valides de del teorema del muestreo se puede demostrar por medio de la propiedad de modulación o de la propiedad de convoluciòn en frecuencia de latransformada de Fourier. Sea una señal de banda limitada f(t) que no tiene componentes espectrales por encima de BHz. A esta señal se le tomaran muestras usando la función pulso cuadrado periódico. Cada pulso rectangular de muestra tiene amplitud unitaria y t segundos de ancho, y ocurre en intervalos de T segundos
Denotando la señal muestreada por f(t) y la función pulso cuadrado periódico por PT(t) sepuede escribir

fst=f(t)pTt (3.86)
Sin embargo, como PT (t) es periódica, se puede representar por medio de una seria de Fourier
Ptt=n=-∞∞Pnejnwot (3.87)
Donde w=2/T. combinando ecuaciones (3.86) y (3.87), se tiene

fst=f(t)n=-∞∞Pnejnwot (3.88)

Si se transforman ambos lados de la ecuación (3.88) y se intercambia el orden, se obtiene

F [fst]=F [ftn=-∞∞Pnejnwot]

=n=-∞∞PnF[ftejnwot] (3.89)

Usando la propiedad de de translación de frecuencias de la transformada de Fourier en la ecuación (3.89), la densidad espectral de fst, designada por Fs(w), es

Fsw=n=-∞∞Pn F (w-nw0)

Pn F (w)+ n=-∞∞Pn=-1n≠0 F (w-nw0) (3.90)

Por tanto se concluya que la densidad espectral (transformada de Fourier) de la señal muestreada f(t) es , excepto por un factor constante,exactamente igual a la de f(t) dentro del ancho de banda original. Además se repita a si misma de manera periódica en la frecuencia de cada w radianes por segundo. Esta replicas de la densidad espectral original esta ponderadas por las amplitudes de los coeficientes de la serie de Fourier de la señal muestreada, como se muestra en la figura 3.21. Nótese que la densidad espectral de la funciónoriginal f(t) se puede recuperar en forma simple utilizando un filtro pasabajas en fsw.

Veamos que sucede con un cambio en la tasa de muestreo. Para un aumento en la rapidez de muestreo, aumenta disminuye y todas las replicas de F(w) se separan entre si . Por otra parte, conforme se reduce la tasa de muestreo disminuye aumenta y todas las replicas se acercan, hasta que se alcanza un punto mas allá...