Teorema del residuo

# 8 Teorema del Residuo Si un polinomio P (x) se divide entre x Ejemplo Sin realizar la división, halle el residuo al dividir Solución 3x2 + 2x 1: Como el divisor es de la forma x c con c = 4, por el teorema del residuo, el P (x) 2 residuo de la división es P (4) = 3 (4) + 2 (4) 1 = 48 + 8 1 = 41: x 4 Comprobémoslo mediante división sintética: Sea P (x) = 3x2 + 2x 1 entre x 4: c, entonces, elresiduo de la división es P (c).

Observación ¿Qué sucede si el residuo de la división

|{z} Residuo

P (x) es cero? x c d P (x) = Q(x) + : Si el residuo d = 0; el resultado de la división es Al realizar la división obtenemos x c x c P (x) = Q(x) o equivalentemente x c P (x) = (x c)Q(x): Esto es, si el residuo es cero, x c es un factor del polinomio P (x): El polinomio P (x) queda factorizadocomo el producto de los polinomios x c y Q(x):

Teorema del Factor Si c 2 R y P (x) es un polinomio, x Ejemplo Pruebe que x + 3 es un factor del polinomio x3 + x2 Solución Sea P (x) = x3 + x2 2x + 12: Como P ( 3) = ( 3)3 + ( 3)2 concluimos que x ( 3) = x + 3 es un factor de P (x): ¿Cómo hallar el otro factor? Ceros reales de Polinomios Los ceros reales de un polinomio P (x) = an xn + an 1 xnpolinómica P (x) = 0 son los valores c 2 R tales que P (c) = 0: 1
1

c es un factor de P (x) si y sólo si P (c) = 0.

2x + 12.

2( 3) + 12 = 0; por teorema del factor,

+ +a1 x + a0 o las raíces de la ecuación

Ejemplo Los ceros del polinomio P (x) = x2 5x + 6 son 2 y 3, pues P (2) = (2)2 5(2) + 6 = 0 y P (3) = (3)2 5(3) + 6 = 0: Por el teorema del factor sabemos entonces que x P (x) = x22yx 3 son factores de P (x) y así: 2)(x 3):

5x + 6 = (x

En la grá…ca de la función cuadrática y = P (x) = x2

5x + 6;

vemos que (2; 0) y (3; 0) son los puntos de intersección de la grá…ca con el eje x: Ejercicio Compruebe que el vértice de la parábola y = x2 Observaciones 1. Si P (x) es un polinomio en x y c es un número real, entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: c esun cero de P (x). x = c es una raíz o una solución de la ecuación P (x) = 0. x c es un factor de P (x). El punto (c; 0) es un punto de intersección de la grá…ca de y = P (x) con el eje x. 2. Si un polinomio P (x) puede factorizarse como P (x) = (x c)m Q(x);
5 5x + 6 es el punto V ( 2 ; 1 4 ):

donde c no es cero de Q(x) y m es un entero mayor o igual que 1, decimos que c es un cero de P (x) demultiplicidad m. Ejemplo Si P (x) = (x 4)(x + 2)2 (x + 1)4 , decimos que 4 es un cero de multiplicidad 1, 2 y 1 es un cero de multiplicidad 4. El teorema del factor es muy útil en la factorización de polinomios. Ejemplo Factorizar el polinomio P (x) = 3x3 2x 20. 2 2 es un cero de multiplicidad

Solución Al evaluar P (x) en 2 tenemos P (2) = 3 (2) 2 (2) 20 = 24 4 20 = 0;luego 2 es un cero de P(x) y, por teorema del factor, x 2 es un factor de P (x): Para hallar el otro factor de P (x) ; dividimos P (x) entre x 2; utilizando división sintética.
3

Luego,

3x3 x

2x 20 0 = 3x2 + 6x + 10 + , o equivalentemente 2 x 2 3x3 2x 20 = (x 2) 3x2 + 6x + 10 :

Ejemplo Hallar un polinomio P (x); en x, de grado 3 que tenga como ceros a Solución Por el teorema del factor, x P (x) = (x + 1) (x (1), x 0) (x 0yx 3 son factores del polinomio P (x) Luego: 3) = x2 + x (x 3) = x3 2x2 3x: 1, 0 y 3.

3) = x(x + 1)(x

Cualquier otro polinomio que sea un múltiplo constante de P (x); es una solución del problema. Supongamos ahora que queremos factorizar un polinomio empleando los teoremas del residuo y del factor y no conocemos sus ceros. El siguiente teorema nos muestra una forma dehallarlos: Teorema de Ceros Racionales Si el polinomio P (x) = an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x + a0 tiene coe…cientes enteros, entonces, todo cero p racional de P tiene la forma , donde: q p es un factor del coe…ciente (constante) a0 . q es un factor del coe…ciente an . Ejemplo Factorice completamente el polinomio P (x) = x4 Solución Por el teorema de los ceros racionales, los posibles ceros de P son de...