Teorema Del Residuo

teorema del residuo
Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
Por ejemplo, si f(x) =x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:
f(x) = (x-2)(x+3)+ 4
Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar losfactores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamosel polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
f(x) = (x-1)(x+2)
Como se muestra, (x-1) es un factor.

Teorema del residuo
Si un polinomio f(x)  se divide entre elbinomio x−a  , donde a  es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a)  .
El teorema es muy útil en la factorización de polinomios: si f(a)  (el residuo) es cero, entonces x−a    esun factor de f(x)  . Nota: a este corolario del teorema del residuo se le llama teorema del factor.
Instancia de uso: si queremos factorizar f(x)=2x 3 +x 2 +3x+4  , buscamos por prueba y error elnúmero a  que lo anula; después de uno o más intentos se ve que x=−1  resulta en f(-1)=0; concluimos que x+1  es un factor de f(x)  . (Para efectivamente lograr la factorización es necesario hacer ladivisión de f(x)  entre x+1  : el cociente es 2x 2 −x+4  ; por tanto f(x)=(x+1)(2x 2 −x+4)  .)

 
Demostración(es)
Demostración: 
Al dividir f(x)  entre x−a  se debe obtener un cociente q(x)  y unresiduo r  --el cual es una constante (polinomio de grado cero) pues de otra manera se podría seguir dividiendo entre x−a  . Entonces f(x)=q(x)(x−a)+r  . De aquí que f(a)=r  . (Claramente, si r=0  el...