TEOREMA DEL RESIDUO

1. Teorema del residuo:
Teorema que establece que si un polinomio P(x) se divide entre un factor (x-a) hasta obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual aP(a).
Ejemplo:
Sea el P(x) = x2 + 2x+1 y el factor x - 1, por lo tanto P(a) = P( 1 )
P ( 1 ) = ( 1 )2 + 2 ( 1 ) + 1 = 4
P ( 1 ) = 4

2. Teorema del factor:
Teorema que establece que unfactor x – b es factor de un polinomio P(x), si y solo si P(b) = 0
Ejemplo:
Sea el P(x) = x2 + 2x+1 y el factor x + 1, por lo tanto P(b) = P( -1 )
P ( -1 ) = ( -1 )2 + 2 ( -1 ) + 1 = 1 – 2 + 1
P (-1 ) = 0

3. Teorema de la raíz racional:
Teorema que establece que un factor ax + b es factor de un polinomio P(x), si y solo si P(b/a) = 0. Un número r es raíz o solución de una funciónpolinomica si P( r ) = 0.
Ejemplo:
Sea el P(x) = 3x3 - 5x2 + 5x - 2 y para el factor ax + b pueden ser:
a = +/- 1, +/- 3 y b = +/- 1, +/- 2.
Lo que da la lista de posibles respuestas:
b/a = 1, -1, 2,-2, 1/3, -1/3, 2/3 -2/3.
Sustituyendo se encuentra que:
P(b/a) = P ( 1 ) = 1 Se concluye que no es una raíz del polinomio P(x)
P(b/a) = P ( -1 ) = -15 Se concluye que no es una raíz del polinomioP(x)
P(b/a) = P ( 2 ) = 12 Se concluye que no es una raíz del polinomio P(x)
P(b/a) = P ( -2 ) = -56 Se concluye que no es una raíz del polinomio P(x)
P(b/a) = P ( -2 ) = -56 Se concluye queno es una raíz del polinomio P(x)
P(b/a) = P ( 1/3 ) = -0.77 Se concluye que no es una raíz del polinomio P(x)
P(b/a) = P ( -1/3 ) = -4.33 Se concluye que no es una raíz del polinomio P(x)P(b/a) = P ( -2/3 ) = -8.33 Se concluye que no es una raíz del polinomio P(x)
Sin embargo,
P(b/a) = P ( 2/3 ) = 0 Se concluye que si es una raíz del polinomio P(x), y expresando dela forma ax + b, 3x-2 es factor del polinomio P(x) = 3x3 - 5x2 + 5x - 2

4. División sintética
Es un método rápido para encontrar las raíces de polinomios de distinto grado. En este método es importante el orden...