Teorema del seno y del coseno

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS

Notación
 Utilizaremos letras 
A

mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b yc, para representar los lados opuestos correspondientes.

b
c C a B

LEY DEL SENO
La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulocualquiera. C φ a α A 1.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: A, M y C obteniendo: sen α= y/a

y = a·sen α
2.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: M, B y C obteniendo: B sen β= y/cy
M β

c

x
b

b-x

y = c·sen β

3.- Igualando las 2 ecuaciones se tiene:
a·sen α = c·sen β

a sen 



c sen 

Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:

a sen 

c sen 



b sen 

Aplicaciones
Ejemplo 1(resolución de triángulos). Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y ladosrestantes.
C

b

a

A c

B

Solución:
El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
a Sen 49 = b Sen 28.7 = c Sen 102.3 27.4 Sen 28.7

.Sen 49 = 43.06 mts.

Usando b = 27.4 se obtiene, a = Y c= 27.4 Sen 28.7 Sen 102.3

= 55.75 mts.

Ejemplo 2 (área de un triángulo oblicuo). La idea de la demostración de la ley de los senossugiere una fórmula para el área de triángulos oblicuos.
C b h a C a c B A c h b

A

B

Area = 1/2(base)(altura) = (1/2) c (b sen A) = (1/2) bc sen A.
De manera similar se obtienen las fórmulas:Area = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.

Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto Cque está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del punto A. Calcule la distancia total...