teorema del valor intermedio































Teorema del valor intermedio


Teorema de los valores intermedios.
En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continuaen un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.
Enunciado
El teorema de los valores intermedios establece que:
Sea  una función continua en un intervalo . Entonces para cada  tal que , existe al menos un  dentro de  tal que .
Enunciados equivalentes
Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es unnúmero entre f(a)y f(b), entonces existe unc ∈ [a, b] tal que f(c) = u.
Como consecuencia del teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.
Si X y Y son espacios topológicos, f : X → Y es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo.
Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
Teorema de Bolzano: caso particular .TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Sea f una función definida al menos en un intervalo abierto (a,b). Si f toma un valor extremo en un punto c de ese intervalo y si existe f´(c) entonces f´(c) = 0  Para construir el concepto de máximo o de mínimo es necesario construir una cuerda de f , que es el segmento que une dos puntos del gráfico de la función f. 

Podemos observar, nuevamente de maneraintuitiva que si existe al menos una tangente horizontal. Por ello presentamos el siguiente enunciado conocido como el teorema de Rolle o teorema del valor extremo, que dice así: Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que:

f´(c) = 0

Ejemplo: Verificar el teorema de Rolle paraf(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].

Primero sabemos que en la función, con dominio en todos los números reales, y derivable en todo punto, la derivada es: f´(x)=2x, lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0. 
f´(x)=2x=0 
entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo.

El presente teorema permite realizar una generalizacióndel teorema de Rolle. Como se había mencionado este teorema garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada paralela al eje de las x´s.
rema de Rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
 es una función continua definida en un intervalo cerrado 
 es derivable sobre el intervalo abierto 


Entonces: existe al menos unpunto  perteneciente al intervalo  tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismosucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
Prueba
Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto elintervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a F(x) = f(x). Supongamos que sea M. Entonces M > F(x) = f(x), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo...