Teorema del valor intermedio

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental Sur del Lago
“Jesús María Semprum”











Alumna:
FrancysMontero C.I
Santa Bárbara de Zulia, noviembre 2014
Teorema del Valor Intermedio y Teorema de Rolle
Teorema del valor intermedio:
La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que escontinua en un intervalo cerrado [a,b]. Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.
El teorema del valor intermedio también resultaútil para determinar la existencia de raíces de una función continua en un intervalo cerrado.
Sea y = f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que f(a) y f(b) toman valores designos contrarios. Es posible asignarle a k el valor cero, ya que cero está comprendido entre f(a) y f(b), de manera tal que en el intervalo (a, b) existe por lo menos un número real c tal que f(c) = 0.De esta manera puede concluirse que c es una raíz real de la función dada.

Teorema de Rolle:
Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y sif(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b).
Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todoslos números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] yderivable en el intervalo (-2,2). Además,
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3 - 4x
= 4x(x2 - 1)
= 4x(x + 1)(x- 1)
Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en...