Teorema del valor medio y punto fijo

Tema 4 Teorema del valor medio. Teoremas del punto fijo de Banach y de Schauder. Teorema de Picard-Lindel¨f. o
En la primera secci´n obtenemos una generalizaci´n del Teorema del valor medio real: o o f (b) − f (a) = f (c)(b − a) para conveniente c ∈]a, b[ a campos escalares f (b) − f (a) = ( f (c)|b − a) para conveniente c ∈]a, b[. Fijadas dos normas en RN y RM , probamos el importante resultadoconocido como Teorema del valor medio o Desigualdad de Lagrange para campos vectoriales f (a) − f (b) ≤ b − a sup{ Df (x) : x ∈]a, b[}, donde se considera en L(RN , RM ) la norma de operadores. Finalmente para las normas eucl´ ıdeas probamos tambi´n una pr´ctica desigualdad e a para campos vectoriales f (b) − f (a)
2

≤ b−a

2

sup
i,j

Dj fi (x)2 : x ∈]a, b[ ,

que se puede recordarcomo que la norma de operadores se mayora por la “norma eucl´ ıdea” de la correspondiente matriz. En la segunda secci´n definimos las funciones contractivas como las funciones lipso chitzianas de constante de Lipschitz menor que 1. Obtenemos el important´ ısimo resultado te´rico-pr´ctico conocido como Teorema del punto fijo de Banach para espacios o a m´tricos completos (4.12) y deducimos de ´l elTeorema de Schauder para campos vece e N N toriales de R en R (4.15). 147

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4. Teoremas del valor medio y del punto fijo de Banach.

Los Teoremas del valor medio y de Schauder ser´n herramientas fundamentales en a la demostraci´n del Teorema de la funci´n inversa. o o Dedicamos la ultima secci´n a demostrar otra importante consecuencia del Teo´ o rema del punto fijo de Banach, el Teorema dePicard-Lindel¨f sobre la existencia de o soluciones de ecuaciones diferenciales (4.18).

Acosta, Aparicio, Moreno y Villena

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4.1.

Teorema del valor medio.

Es conocido el siguiente importante resultado: Teorema 4.1 (valor medio real). Sean a, b ∈ R con a = b y sea I el intervalo cerrado
◦

de extremos a y b. Si f : I → R es una funci´n continua en I y derivable en I , entonceso ◦ existe c ∈ I tal que f (b) − f (a) = f (c)(b − a). o Este teorema admite una generalizaci´n inmediata al caso de campos escalares definidos en RN . Recordemos que si a y b son dos puntos distintos de RN , entonces los segmentos cerrado y abierto de extremos a y b son respectivamente los conjuntos [a, b] = {a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]} y ]a, b[= {a + t(b − a) : t ∈]0, 1[}. Teorema 4.2 (valormedio para campos escalares). Sean a, b ∈ RN verificando que a = b y que [a, b] ⊂ A ⊂ RN . Si f : A → R es un campo escalar continuo en [a, b] y derivable en ]a, b[, entonces existe c ∈]a, b[ tal que f (b) − f (a) = f (c)|b − a . Demostraci´n: o La prueba de este teorema consiste en aplicar el Teorema del valor medio real a la funci´n auxiliar σ : [0, 1] → R definida por o σ(t) = f (a + t(b − a)).Puesto que σ es la composici´n con f de la funci´n de [0, 1] en A definida por o o t → a + t(b − a), la regla de la cadena para funciones continuas nos permite afirmar que σ es continua en [0, 1]. La nota 3.25 a) nos garantiza que σ es derivable en ]0, 1[ con σ (t) = Dσ(t)(1) = Df (a + t(b − a))(b − a) = f (a + t(b − a))|b − a .

As´ la funci´n σ cumple las hip´tesis del Teorema del valor medio real y,por tanto, ı, o o existe ϑ ∈]0, 1[ tal que f (b) − f (a) = σ(1) − σ(0) = f (a + θ(b − a))|b − a .

Es usual que el punto c que aparece en el enunciado del teorema anterior no se sepa calcular. El siguiente corolario nos da una mayoraci´n de la distancia entre los o valores tomados por un campo escalar en los extremos del segmento obtenida usando la desigualdad 3.1.5. No se debe olvidar que talestimaci´n es la responsable de la mayor´ o ıa de las aplicaciones del Teorema del valor medio real.

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4. Teoremas del valor medio y del punto fijo de Banach.

Corolario 4.3. Sean a, b ∈ RN con a = b tales que [a, b] ⊂ A ⊂ RN . Si f : A → R es un campo escalar continuo en [a, b] y derivable en ]a, b[, entonces |f (b) − f (a)| ≤ b − a sup{ Df (x) : x ∈]a, b[}. donde · es una norma en RN...