Teorema del valor medio

Teorema del valor intermedio para funciones continuas.
Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo . Sin y son dos puntos cualesquiera de tales que y , entonces lafunción f toma todos los valores comprendidos entre y por lo menos una vez en el intervalo .

Demostración: al final del Capítulo.
Teorema del valor intermedio para funciones continuas.Supongamos , y sea un valor cualquiera que se encuentra entre y . Sea una función definida en el intervalo de la siguiente manera: .
Se tiene que es continua en cada punto de , pues es ladiferencia de dos funciones continuas, y además:


,


pues .
Aplicando el teorema de Bolzano a la función se tiene que para algún entre y , lo que significa , quedando demostrado elteorema.

Gráficamente se tiene lo siguiente:

En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes , , siempre se encontrará un punto , comprendido entrey , tal que , cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.

Es necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido
únicamente cuando la función es continua en unintervalo dado.

En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una funcióncontinua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
• Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que
f(c)(b a) Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como elmenor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m  f(x)  M  x  [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b a) M(b a) entonces m M....