TEOREMA DEL VALOR MEDIO

 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE HUATABAMPO


CALCULO DIFERENCIAL: IV UNIDAD


PROFESOR: JULIO ALFONSO NIEBLAS SERRANO

EQUIPO: 2

INTEGRANTES:
Aldaco Ramírez Alan Samuel
Balderrama Mendivil Jennyfer Danira
Garcia Amparan Gabriel
Gutierrez Macias Martin
Moroyoqui Armenta Angeles
Perez Monje Mario
Urias Armenta Ivan
Valenzuela Quintana Luis
Vilches Alfredo
Yocupicio Morales Alonso

ING. MECÁTRÓNICADICIEMBRE DEL 2014
TEOREMA DE LAGRANGE O DEL VALOR MEDIO:

Teorema del valor medio para derivadas  (Teorema de Lagrange)
 
Sea  una función que cumple las propiedades siguientes: 
1. Es continua sobre un intervalo cerrado  
2. Es derivable sobre un intervalo abierto  
Entonces existe por lo menos un número  tal que  y 
 
Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculodiferencial como del cálculo integral. 
En su demostración se utilizará el teorema de Rolle. 
Interpretación geométrica 
El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue: 
Consideremos la representación gráfica de una curva continua : 

La recta secante que une los puntos  tiene como pendiente
. Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la curva,localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algún número  tal que 
 
Ejemplo:
Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema: 
1.  
Solución:
1. Por ser  unafunción polinomial, es derivable para toda  por lo que debe existir por lo menos un número  tal que: 
 
Además  por lo que  
Como  entonces  por lo que 
Luego en  y en  la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos  y.

2. Como  es continua en el intervalo  y derivable en el intervalo  cumplirá ambas condiciones en el intervalo  
Luego debe existir por lo menos unnúmero  tal que 
 
Como,
 Entonces  por lo que  
Resolviendo la ecuación se obtiene que  o  
Aunque ambos valores de  pertenecen al intervalo ,se tiene que únicamente cuando  
Luego en   la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos .
Gráficamente se tiene: 


Joseph-Louis Lagrange


Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) formulo por primera vez el teorema del valor medio. Nacido enItalia de padre francés y madre italiana. Fue un niño prodigio y se convirtió en profesor en Turín, a la edad temprana de 19 años. Lagrange hizo grandes colaboraciones a la teoría de números, la teoría de funciones, la teoría de ecuaciones y la mecánica analítica y celeste.
En particular; aplicó el cálculo al análisis de la estabilidad del sistema solar; Por invitación de Federico el Grande, seconvirtió en el sucesor de Euler en la Academia de Berlín; al morir su mecenas aceptó la invitación del Rey Luis XVI para trasladarse a parís, donde se le dieron apartamentos en el Louvre.
Fue un hombre bondadoso y tranquilo, aunque sólo vivió para la ciencia





FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE 


Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráficaes horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante.
 
Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con
 
x1
<
 x2
Se tiene que
f(x1)
<
f(x2).
Prevalece la relación  <
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2))  con
 
x1
<
 x2
Se tiene que
f(x1)
>
f(x2).
Cambia la relación de <  a  >
 
 
 
 
 

Considerando la siguiente gráfica:
                                                                                                                                                 
Los intervalos donde la gráfica es creciente son
  [ 2.8, 3.6 ]
  [5.2, 6 ]
 
El intervalo donde la gráfica es decreciente es...