Teorema Fundamenhtal De Aritmetica

Teorema fundamental de la aritmética
En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, elorden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.
Por definición, un producto vacío tiene por resultado 1, con lo cual el teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores.
Contenido  [ocultar] 1 Aplicaciones2 Demostración2.1 Demostración de Euclides2.1.1 Descomposición enprimos2.1.2 Unicidad2.2 Prueba por descenso infinito2.3 Prueba por álgebra abstracta3 Véase también4 Enlaces externos |
[editar]Aplicaciones
El teorema establece la importancia de los números primos. Éstos son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: , donde 0 ≤ a≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene untotal de  divisores positivos
Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en generalrequiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.
El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.
Cualquier número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos.
[editar]Demostración
El teorema fueprácticamente demostrado por primera vez por Euclides, aunque la primera prueba completa apareció en lasDisquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.
Aunque a primera vista el teorema parezca "obvio", no vale en sistemas numéricos más generales, entre estos muchos anillos deenteros algebraicos. Ernst Kummer fue el primero en notar esto en 1843, en su trabajo sobre el último teorema de Fermat.El reconocimiento de este fallo es uno de los primeros avances de la teoría de números algebraicos.
[editar]Demostración de Euclides
La demostración se hace en dos pasos. En el primero se demuestra que todo número es un producto de primos (incluido el producto vacío). En el segundo se demuestra que cualesquiera dos representaciones son iguales.
[editar]Descomposición en primos
Supóngase queexiste algún entero positivo que no puede representarse como producto de primos. Entonces debe haber un mínimonúmero n con esa propiedad. Este número n no puede ser 1, por la convención anterior. Tampoco puede ser un primo, porque todo primo es el producto de un único número primo: él mismo.
Así pues, n = ab, donde a y b son enteros positivos menores que n. Como n es el mínimo entero positivo parael que falla el teorema, tanto a como b pueden escribirse como producto de primos. Pero entonces n = ab también puede escribirse como producto de primos, lo que es contradictorio.
[editar]Unicidad
La demostración de la unicidad se apoya en el siguiente hecho: si un número primo p divide a un producto ab, entonces divide a a o divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, si se...