Teorema Fundamental Algebra

EIRCiencia y cultura

Volviendo visible lo invisible

El teorema fundamental
del a´lgebra
por Bruce Director

1. La declaracio´n de
independencia de Gauss
En septiembre de 1798, despue´s de tres an˜os de estudios,
el gran matema´tico Carl Friedrich Gauss, entonces de 21 an˜os
de edad, abandono´ la Universidad de Gotinga sin recibir un
diploma. Regreso´ a su ciudad natal, Braunschweig, paraempezar a escribir su Disquisitiones Arithmeticae, y, sin perspectivas de empleo, abrigaba la esperanza de seguir recibiendo
su estipendio de estudiante, sin la seguridad de que su benefactor, Carl Wilhelm Ferdinand, duque de Braunschweig, se
lo darı´a. Despue´s de vivir de fiado varios meses, el Duque le
dejo´ saber que su estipendio continuarı´a, con tal de que Gauss
obtuviera su tı´tulo de doctoradoen filosofı´a, una tarea que
Gauss consideraba una distraccio´n, y que deseaba posponer.
No obstante, Gauss aprovecho´ la oportunidad de hacer
una virtual declaracio´n de independencia del asfixiante mundo de las matema´ticas deductivas, en la forma de una tesis
escrita que envio´ al profesorado de la Universidad de
Helmstedt, sobre una nueva prueba del teorema fundamental
del a´lgebra. En cosa demeses, recibio´ su doctorado sin siquiera tener que presentarse para un examen oral.
Describiendo su intencio´n a su ex compan˜ero de clase,
Wolfgang Bolyai, Gauss escribio´: “El tı´tulo [teorema fundamental] indica de forma catego´rica el propo´sito del ensayo;
sin embargo, so´lo un tercio del mismo se usa para este propo´sito; el resto contiene principalmente la historia y una crı´tica
deltrabajo de otros matema´ticos (a saber, d’Alembert, Bougainville, Euler, de Foncenex, Lagrange y los enciclopedistas. . . quienes, sin embargo, tal vez no estara´n muy con1a quincena de febrero de 2003

Carl Friedrich Gauss.

tentos) sobre el mismo tema, adema´s de muchos y variados
comentarios sobre la superficialidad que predomina tanto en
nuestras matema´ticas actuales”.
En esencia, Gauss defendio´y amplio´ un principio que se
remonta a Plato´n, en el que so´lo la accio´n fı´sica define nuestra
nocio´n de magnitud, y no los supuestos arbitrarios. Como
Plato´n, Gauss reconocio´ que no bastarı´a simplemente con
declarar su descubrimiento, a menos que lo combinara con
un ataque pole´mico contra las falsedades aristote´licas que se
habı´an vuelto tan populares entre sus contempora´neos.
Viendosu disertacio´n 50 an˜os despue´s, Gauss dijo: “La
demostracio´n se presenta tomando expresiones prestadas de
la geometrı´a de posicio´n; porque de este modo se alcanza la
Ciencia y cultura

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mayor agudeza y simplicidad. Fundamentalmente, el contenido esencial de todo el argumento pertenece a un dominio
superior, independiente del espacio [es decir, antieuclidiano],
en el que los conceptosgenerales de magnitud se investigan
como combinaciones de magnitudes conectadas por continuidad: un dominio que, al presente, se ha desarrollado poco, y
en el que uno no puede moverse sin tomar prestado el lenguaje
de las ima´genes espaciales”.
Mi intencio´n es ofrecer un bosquejo resumido de la historia de esta idea, y de su desarrollo por Gauss. No puede ser
exhaustivo. Ma´s bien, busco trazar lospasos que deberı´an
formar la base de dia´logos pedago´gicos orales, que ya esta´n
en marcha en varios lugares.1

Magnitud mu´ltiplemente extendida
Los cı´rculos asociados con Plato´n ya habı´an desarrollado
un concepto fı´sico cabal de magnitud, que se expresa ma´s
explı´citamente en los dia´logos Meno´n, Teetetes y Timeo. Plato´n y los suyos demostraron este concepto de manera pedago´gica pormedio de las paradojas que surgen cuando se considera la singularidad de los cinco so´lidos regulares, y los problemas relacionados de doblar de una lı´nea, un cuadrado y un
cubo. Como Plato´n subrayo´, cada especie de accio´n generaba
una magnitud de especie diferente. E´l denomino´ a tales especies con la palabra griega du´namis (raı´z de la palabra dı´namo),
te´rmino que mejor se puede vertir...