Teorema fundamental de calculo

1.1 MEDICION APROXIMADA DE NUMEROS AMORFOS
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

AT= A1+A2                                                                                                  n=número de partición
*Ejemplo:

                 A1=(.5)(0)       =0
A2=(.5)(.25)    =.125
A3=(.5)(1)       =.5
A4=(.5)(2.25)  =1.125
A5=(.5)(4)       =2
A6=(.5)(6.25)  =3.125
A7=(.5)(9)       =4.5
A8=(.5)(12.25)=6.125
                    AT=17.5

1.2 NOTACION SUMATORIA
En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puededenotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n. 
La letra griega sigma mayúscula (S ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

La notación se lee:
Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n. 
Laletra debajo del operador S se llama índice de la suma; en la expresión

note que el índice de la suma es i.  
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
* Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo:
* Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta,va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo: .
 
Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11
Encontrar:
Solución:

Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita  identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:
 
1.- De lo anterior esevidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.
Por ejemplo:
 
2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es
 
3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:

 
1.3 Sumas de Riemann En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito derectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Consideremos lo siguiente:

una función
donde D es un subconjunto de los números reales
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
Un conjunto finito de puntos {x0, x1,x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemannpor la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.
\sum_{i=100}^{300}=6_i(4_i+2_i^2)

1.4 Definición de integral definida
hemos definido la integral como un límite.
Vamos a intentar formalizar lo expuesto hasta ahora.
Recuerda que en el...