Teorema fundamental de la aritmética

Teorema fundamental de la aritmética
Definición
El teorema fundamental de la aritmética es la afirmación de que todo entero natural no nulo se puede descomponer como un producto de factoresprimos de forma única.
Ejemplos:
91000 = 23×53×7×13
6363 = 32×7×101.
Además no existe ninguna otra factorización de 91000 y 6363 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores. Se acostumbraescribir los factores en orden creciente.
Un producto vacío (es decir sin ningún factor) es por convención igual a 1, lo que permite afirmar que 1 también verifica el teorema. Un producto de un solofactor es por convención este factor; así los números primos también verifican el teorema.
Prueba
Existen varias pruebas de este teorema que fue descubierto por los Griegos hace más de dos milenios:Prueba por reducción al absurdo
Pruebas constructivas, es decir que permiten efectivamente encontrar tal factorización (o descomposición) en factores primos.
Si la prueba ad absurbum no essignificativamente más corta se prefiere la constructiva.
La prueba consta de dos partes:
1. Primero, se debe mostrar que todo número entero positivo puede en efecto escribirse como producto de primos.
2. Acontinuación debe demostrarse que tal descomposición es única (si se ordenan los factores).
Existencia
Primero se verifica el teorema para valores pequeños:
El caso 1 ya se ha visto
2 es primo,
3 también,
4 =2²,
5 es primo,
6 = 2×3,
7 es primo,
8 = 2³,
9 = 3²
...
Por tanto el teorema se verifica para los 9 primeros números naturales.

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