Teorema fundamental de la aritmetica

Teorema fundamental de la aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo enteropositivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,
6936: 23·3·172
1200: 24·3·52
No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como lamultiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.
Por definición, unproducto vacío tiene por resultado 1, con lo cual el teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores.

* Aplicaciones
El teorema establece la importancia de los númerosprimos. Éstos son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una únicamanera.
Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisorpositivo 6936 debe tener la forma: 2ª·3b·17c , donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opcionesindependientes se obtiene un total de 4·2·3=24 divisores positivos
Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo.Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo deEuclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.
El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente...