Teorema fundamental de la numeración

Teorema Fundamental de la Numeración [editar]
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
• N: Sistema de numeración
• b: base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
• d: un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración• n: número de dígitos de la parte entera.
• ,: coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria.
• k: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número (cualquier número) N en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:
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El valor total del número será la suma decada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.

Ejemplo en el Sistema Decimal [editar]

En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base(número de símbolos válidos en el sistema) es 10.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.
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Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número,y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (102=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1),centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:
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Ejemplo en el Sistema Binario [editar]

Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de lanumeración aplicado al sistema binario.
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Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos(0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que solo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotado los símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usarotra columna a la izquierda.
Así, si contamos en binario, tras el número 0(2 viene el 1(2, pero si contamos una unidad más debemos usar otra columna, resultando 10(2
Sigamos contando 0(2,1(2,10(2,11(2. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y debemos formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, tambiénagotaremos los símbolos disponibles para esa columna, y debemos formar una unidad de tercer orden o 100(2. Así, en el sistema binario 11(2 + 1(2 + 100(2
Ejemplos:
• El número [pic]está formado por un sólo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la...