Teorema Fundamental Del Calculo

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisismatemático o cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas ylongitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una funcion continuia en un intervalo cerrado (a,b) y sea la fincion F cefinida por

 Segundo teorema fundamental del cálculo:

 Segundoteorema fundamental del cálculo:

 

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida.
En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada.
Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de integración, por el momento sólo es indispensable aprender la integración directa y la integración por sustitución.

                                      
                                                

*INTEGRACIÓN APROXIMADA: REGLA TRAPEZOIDAL Y REGLA DE SIMPSON
REGLA SIMPSON:

La función f(x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P(x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
.Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada se puede aproximar como:

Error
El error al aproximar la integral mediante laRegla de Simpson es

donde h = (b − a) / 2 y .

REGLA TRAPEZOIDAL:
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho y aproximando el área de cada faja medianteun trapecio, como se indica en la figura.
|
Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3, ...., n+1), las áreas de los trapecios son:
| | (1) |
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
| | (2) |
Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:
| | (3) |
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
| | (4) |
Enesencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.
Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f'(X) yf''(X), el error que resulta de aproximar el área verdadera en una faja bajo la curva f(X) comprendida entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a:
| | (5) |
Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie de...