TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

Ahora es posible formular el concepto de integral definida. Para hacerlo, considérese los cinco pasos siguientes.
1. Admitase que la función f esta definida en[a,b]
2. Divídase el intervalo [a,b] en n subintervalos [xi-1, xi ] de amplitud x= i - i-1. Denotese por P la partición
3. Sea la amplitud del sub intervalo más LARGO. Al número se le llamaNORMA de la partición
4. Seleccione un número xi en cada sub intervalo
5. Establézca la sumatoria
La sumatoria descrita en los cinco pasos anteriores se conocen como sumatorias de Riemann ( enhonor al famoso matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann: 1826-1886).
Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante al de los cinco pasos que conducen a la definición de área bajouna gráfica, existen ciertas diferencias importantes. Note que una suma de Riemann no requiere que f sea continua ni no negativa en el intervalo. Así que la formula de sumatoria del paso cinco, nonecesariamente representa una aproximación al área bajo una gráfica. Además téngase presente que el área bajo una gráfica se refiere al área comprendida entre la gráfica de una función no negativa y eleje x. Si f < 0 en [a,b], una sumatoria de Riemann podría contener términos f(xi)x, en donde f(xi) < 0. En este caso los productos f(xi)x son números que son los negativos de las áreas derectángulos trazados por debajo del eje x
Ejemplo
1. Calcular la suma de Riemann para con cinco sub intervalos

Nota: para resolver se debe emplear los cinco pasos descritos anteriormente



-2-1/2 0 1 7/4 3


2. Evaluar ahora la sumatoria de Riemann para la función y la partición de [-2,3 ] si:
X1= -3/2,X2= -1/8, X3= ¾, X4= 3/2 y X5= 2.1

Si las sumatorias de Riemann son cercanas a un número L para toda partición de P de [a,b] para la cual la norma es cercana a cero, entonces


Y...