Teorema Fundamental Del Calculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continuaintegrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamentalporque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que sevenía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas deestudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial,resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y quepermite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.



Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobreel intervalo [pic], definimos F sobre [pic] por [pic]. Si f es continua en [pic], entonces F es derivable en [pic] y F'(c) = f(c).



Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculoinfinitesimal es

[pic]

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.


[editar]Demostración


[editar]Lema

Sea [[[pic]]] integrablesobre [pic] y

[pic]
Entonces

[pic]

[editar]Demostración

Por definición se tiene que [pic].

Sea h>0. Entonces [pic].

Se define [pic] y [pic] como:...