Teorema fundamental del calculo

Teorema fundamental del cálculo.
Dice que la integral de una función es la inversa de la derivada, es decir, la derivada de la integral de la función es igual a la función.
Este teorema fuedescubierto independientemente en Inglaterra por Sir Issac Newton y en Alemania por Gottfried Leibniz.

En la discusión que sigue usaremos la variable t y denotaremos la integral de f de a hasta b por∫_a^b▒〖f(t)〗 dt. Si f es continua en [a ,b] y si x esta en [a ,b], entonces f es continua en
[a, x] y por lo tanto por el teorema f es integrable en [a, x] siempre que a ≤ x ≤ b. en consecuencia laecuación

(5.30) G(X)= ∫_a^x▒〖f(t)〗dt

Define una función G con dominio [a ,b], ya que a todo x en [a ,b] le corresponde un numero único G(x)dado por (5.30). El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que G es una antiderivada de f. Además muestra como se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral definida de f.(5.31). Teorema fundamental del calculo.

Demostración. Para probar la parte I tenemos que mostrar que si x esta en [a ,b], entonces G´(x) = f(x), o sea
lim┬(h⟶0)⁡〖(G(x+h)- G(x))/h〗 = f(x)

Antesde dar una demostración formal, es instructivo considerar algunos aspectos geométricos de esta fórmula. Si f(x) ≥ 0 para todo x en [a ,b], entonces G(x) es el área bajo la grafica de f entre a y x. sih > 0, entonces la diferencia G(x+h) –G(x) es el área bajo la grafica de f entre x y x + h, el numero h es la longitud del intervalo [x, x + h] y f(x) es la ordenada de aquel punto en la grafica def cuya abscisa es x. Mostraremos a continuación que [G(X + H) – G(x)]/h = f(z), donde z está entre x y x + h. Razonando intuitivamente parece que si h ⟶ 0 entonces z ⟶ x y f(z) ⟶ f(x), que es lo quequeremos probar.
Demostraremos ahora rigurosamente que G´(x) = f(x) si f es continua en [a ,b].
Si x y x + h están en [a ,b], entonces usando la definición de G junto con (5.17) y (5.25),...