Teorema pelota peluda

Introducción

Suena el despertador. Son las 6:30 de la mañana. Víctor se revuelve entre las sábanas, no quiere levantarse, el sueño le supera…pero no puede permitirlo. A las 8:30 tiene unaentrevista de trabajo muy importante, puede que determinante para su futuro profesional.

- ¡¡Arriba chaval!!

Víctor se levanta de la cama de un salto y va directo al baño. Una ducha rápida complementadacon un afeitado apurado le dejan nuevo. Desodorante, colonia y a arreglar esa cabeza. Ayer fue día (bueno, más bien noche) de salida informal con los amigos y el peinado fue más bien alocado, perohoy toca seriedad y hay que bajarlo como sea. Secador por aquí, peine por allá. Y listo, su peinado hacia un lado presenta una completa armonía…¿completa?

- ¡¡Aghh!! Este maldito remolino…¿va a poderconmigo?…¡¡No!!

¿Podrá conseguir nuestro amigo Víctor que su pelo esté complemente perfecto?
El teorema de la bola peluda

Pues no, no podrá. Y la razón no es genética, sino matemática. Sí, sí,matemática. Y, cómo no, os voy a explicar por qué.

Campo tangente a una esferaUn campo de vectores tangente sobre una superficie de \mathbb{R}^3 es una aplicación de esa superficie en \mathbb{R}^3que asocia a cada punto de la superficie un vector tangente a la misma en ese punto. Tomando \mathbb{S}^2 (la esfera conocida por todos, da igual su centro y su radio) como la superficie, un campotangente a \mathbb{S}^2 será una aplicación continua W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 tal que para cada punto p de \mathbb{S}^2 se tiene que W(p) es un vector tangente a la misma en ese punto p(ver figura de la derecha). Pues bien, el teorema de la bola peluda dice lo siguiente:

Teorema: (de la bola peluda)

Sea W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 campo de vectores tangente.Entonces W tiene al menos un cero, es decir, existe al menos un punto p_0 \in \mathbb{S}^2 tal que W(p_0)=0.

¿Y qué tiene que ver ésto con el caso de nuestro amigo Víctor? Muy sencillo: suponiendo...