Teorema se sarkosvkii

Teorema de Sarkovskii
CAPÍTULO 1 Introducción El Teorema de Sarkovskii es un extraordinario hallazgo matemático tanto por su aplicación como por su simplicidad ya que es para funciones continuas de una sola variable. Fue publicado en el año 1.964 por el matemático soviético Oleksandr Mikolaiovich Sarkovskii1 en una revista ucraniana. Lo genial del Teorema de Sarkovskii es que, a pesar de que lasfunciones continuas han sido extensamente estudiadas en los últimos 200 años por grandes matemáticos como Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) y Euler (1707-1783), muestra que aún queda un amplio terreno por descubrir. He llegado al Teorema de Sarkovskii mediante un artículo de la revista American Mathematical Monthly llamado “Period three implies Chaos” publicado en el año 1975 cuyatraducción es “Período tres implica caos”. En dicho artículo, sus autores Tien-Yien Li y James A. Yorke, matemáticos norteamericanos, anuncian que un nuevo teorema para funciones continuas de una sola variable fue descubierto. El teorema establece que si una función continua tiene periodo tres, entonces debe tener período n para todo entero n. La traducción de “period three” como “período tres” tiene unsentido diferente al habitual, aquí quiere decir que existe un punto con
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tal que

cuando k=1, 2.

Matemático ucraniano nacido el 7 de diciembre de 1936. En 2006 se convirtió en miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania.

Núñez, P. Soledad

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Teorema de Sarkovskii
En otra palabras, la imagen de iteraciones. Poco después, se encontró que el teorema de Li y Yorkeera sólo un caso particular del teorema de Sarkovskii, que había permanecido ignorado para la comunidad matemática durante más de 15 años y en el cual se da una respuesta completa a muchos interrogantes. Existen innumerables trabajos dedicados al resultado de Li y Yorke o resultados relacionados con éste, incluso el título del mismo “Período tres implica caos”, se convirtió en una de las frases másusadas en los estudios del caos. Sarkovskii reordenó los números naturales estableciendo el orden de Sarkovskii y probó que si
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vuelve a

luego de tres

y si una función tiene período

entonces debe tener período m. El número 3 es el menor número en el orden de Sarkovskii. Entonces, obviamente, el período tres implica a todos los otros períodos, y el teorema de Li y Yorke no era unteorema nuevo. Sin embargo, es en el artículo de Li y Yorke donde el nuevo concepto de caos aparece por primera vez en la Matemática.

Es sorprendente ver que incluso las iteraciones de una función continua muy simple de una sola variable pueden mostrar un comportamiento caótico extremadamente complicado. La demostración original del teorema de Sarkovskii es bastante compleja. Aquí, se dará unademostración que está basada en el teorema del valor intermedio, accesible a los lectores con cierto conocimiento de análisis matemático para luego analizar algunas aplicaciones.
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se lee es menor que

con el orden de Sarkovskii.

Núñez, P. Soledad

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CAPÍTULO 2

2.1 El Teorema del Valor Intermedio

Sin necesidad de poseer un conocimiento especial dematemática, uno puede entender los siguientes hechos comunes: Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo ¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? Dos trenes que parten al mismo tiempo, uno desde New York hacia Chicago y el otro desde Chicago hacia New York, debencruzarse en algún momento a lo largo de sus viajes.

Ahora, juguemos un poco sobre estos hechos comunes. ¿Es tan obvio esto?

Supongamos que Roberto comienza a escalar una montaña a las 8 a.m. y alcanza la cima a las 6 p.m. y entonces, al día siguiente, a la misma hora inicia su regreso yendo por el mismo camino. ¿Hay algún lugar de su camino de ida y vuelta por la montaña donde su reloj indique...