Teorema Seno

| GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO PROF: OSCAR M SERRANO A | NOMBRE:____________________ |

TEOREMA DEL SENO
CONTEXTUALIZACIÓN:

A menudo nos encontramos con situaciones en donde utilizar la medición directa es imposible, como lo es en las grandes distancias en el espacio o simplemente en la posición geográfica dentro de nuestro planeta. La trigonometría nos brindauna herramienta para poder obtener estos datos como lo vimos anteriormente, pero estas situaciones solo eran aplicables para aquellas situaciones en donde se formaban triángulos rectángulos, a continuación veremos una forma de solucionar aquellas situaciones en donde no tenemos ángulos rectos.

En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de susángulos opuestos. Para la figura mostrada se cumple que:
C
A
B
b
c
a

*
*
*
Ejemplo: Si en el triángulo ABC a = 40cm, A = 60°, B = 45°, resolver dicho triángulo.
Observemos que aplicar cualquiera de las proporciones expuestas en el texto anterior debemos identificar tres elementos para determinar un cuarto, luego:

Solución: C
A
B
b
c
a = 40cm
45°
60°Primero se dibuja un triángulo que se aproxime lo más posible a nuestro ejercicio.

Calculemos C, para ello recuerda la propiedad geométrica. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
A + B + C = 180°
60° + 45° + C = 180°
C = 180° - 60 – 45
C = 75°
Conociendo el valor del ángulo C podremos aplicar nuevamente el teorema del seno para encontrar el valor dellado c, por medio de la relación

TRABAJO:

1. Dado el triángulo ABC resuelve cada caso:

a. b=70cm A=30° C=105°
b. c=60cm A=50° B=75°
c. a= 7cm b=6cm A=30°
d. A=30° B=60° a=20cm
e. B=37° a=2cm b=6cm
f. a=10cm B=53° c=12cm
Recuerda: cada triángulo debe ser graficado y resuelto

1. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 30° y 55°, si el ladoopuesto del menor de esos ángulos mide 11.5cm. determina la longitud del lado mayor.
2. Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hilos de alambre. Si la diagonal mayor de dicha figura tiene una longitud de 230m y forma con los lados adyacentes ángulos de 38° y 40° ¿qué cantidad de alambre se necesitará para llevar a cabo dicha labor?
3. Dos personas A y B, seencuentran a una distancia de 400m una de la otra. Cuando un avión pasa, las personas lo ven simultáneamente con ángulos de elevación de 35° y 48° respectivamente. ¿Calcule a qué altura volaba el avión en ese instante?
4. Un barco es rastreado por dos estaciones de radar P y Q que encuentran en la línea norte-sur y 6000 m una de la otra. La estación P lo localiza en la dirección N34°E y la y laestación Q hace lo mismo en la dirección N48°E ¿a qué distancia esta el barco de cada estación?


PROFUNDIZACIÓN:

Resuelve los siguientes problemas:

1. En el bosque se encuentra ubicado un guardabosque en el punto A. a 15km se localiza el punto B donde se encuentra otro guardabosque. Los dos guardabosques observan un incendio en el punto C. El guardabosques que estáubicado en el punto A registra el ángulo CAB con una medida de 40° y el guardabosques que está en B registra el ángulo CBA igual a 80,5°.
¿A qué distancia está el incendio de cada uno de los guardabosques?
2. El viento ha ocasionado que un árbol cuya longitud es de 3 metros, se incline 10° hacia el oriente desde la vertical. Si el Sol, en el occidente, está a 32° arriba de la horizontal, ¿quélongitud tiene la sombra del árbol?
3. Una habitación de forma rectangular tiene un techo de dos aguas. Los ángulos que forma el techo con respecto a la base de la pared de 8 metros son de 65° y 32°. Encontrar la longitud de cada uno de los lados del techo.
4. Un rodadero para niños tiene 5 metros de longitud y una inclinación de 36° con la horizontal. La escalera para subir al...