teorema simplex

METODO SIMPLEX

El método simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados delpolígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
Deberá tenerse en cuenta queeste método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.
Esta es la forma estándar delmodelo:
Función objetivo:
c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a:
a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
...
am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm
x1,..., xn ≥ 0
Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:
1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.
2. Todas las restricciones son de igualdad.
3. Todas las variables son nonegativas.
4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.





Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición desalida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).
Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.
Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad"≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.
Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en unmodelo para el método de las Dos Fases.
Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los términos independientes de las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones donde los términos independientes sean menores que 0.
Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en larestricción podemos aplicar el método Simplex a nuestro modelo.
Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=", "≤"), quedando ("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos podría beneficiar si sóloexisten términos de desigualdad ("≤","≥"), y los "≥" coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo.

Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "≥", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la restricción si ≥ 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en las...