Teorema

EL TEOREMA DE ASCOLI
El teorema de ascoli caracteriza los conjuntos compactos de funciones continuas. Esas caracterizaciones son importantes en lademostración de las existencias de soluciones de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones integrales, también como en muchos problemas de análisis matemático.
Enel presente capitulo demostraremos el teorema de ascoli y daremos diversas aplicaciones de él; otras aplicaciones son desarrolladas en el párrafo 4 delcapítulo 6.
Como continuación natural de este capítulo, tenemos el análisis funcional, la teoría de los operadores compactos, la teoría espectral de losoperadores hermitianos compactos, la teoría de las ecuaciones integrales de fredholm con núcleo hermitiano y la teoría de Sturm-Liouville de problemas de ecuacionesdiferenciales en la frontera.
§ 1. EL TEOREMA DE ASCOLI
Sea E un espacio topológico y F un espacio métrico; diremos que un conjunto E de aplicaciones de Een F es equicontinuo en un punto x_0∈E se, dado ε>0, existe una vecindad V_(x_0 ) de x_0 tal que x∈V_(x_0 ) implica d[f(x),f(x_0)]≤ε para toda f∈ C ;es claro que, entonces, todas las funciones f∈ E en el punto x_0. Diremos que E es equicontinuo, si E es equicontinuo en todo punto x∈E; los elementos de Eson entonces funciones continuas.

EJERCICIO¬ 1.1. Para n≥2 y t∈[0,1],definimos
x_n (t)={█(nt, si 0≤t≤1/n@2-nt,si 1/n≤t≤2/n@0, si2/n≤t≤1)┤
sea E={x_n/n≥2}; demostrar que x_n (t)→0 para todo t ∈[0,1],que E⊂C ([0,1]),más que E no es equicontinuo en el punto 〖 t〗_0=0.