teorema

Proporcionalidad


Este tema se trabaja en 7° y 8° básico y se profundiza en 1° Medio. Como es muy posible que algunos cosas no las recuerdes, veamos el tema en su totalidad.

Razón: Es la comparación entre dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.

Ejemplo, 5 : 7 (se lee 5 es a 7) donde el 5 es el antecedente y el 7 el consecuente.Para que lo comprendas mejor, piensa que al decirte 2 : 3 te estoy señalando que se va a repartir algo, donde a uno le van a corresponder 2 partes y al otro 3 partes.

Veamos algunos ejemplos.

1. Repartir $ 75.000 entre Marta y Ricardo en razón 2 : 3, respectivamente. (Esta palabra significa que tiene que ser en el orden dado, o sea Marta ---> 2 partes y Ricardo ---> 3 partes)

Al sumarlas partes que le corresponden a Marta con las que le corresponden a Ricardo da el total de dinero a repartir, o sea
2 partes + 3 partes = $75.000.
2p + 3p = 75.000
5p = 75.000
p = 15.000

Luego cada parte es de $15.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:

Marta = 2 partes = 2  15.000 = $ 30.000
Ricardo = 3 partes = 3 15.000 = $ 45.000

2. Los ángulos de un triángulo están en razón de 1:3:5. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?

Como en un triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º, planteamos
p + 3p + 5p = 180º
9p = 180
p = 20
Por lo tanto, los ángulos miden
p = 20º;
3p = 320 = 60º;
5p = 520 = 100º.
La respuesta es 100º

3. El perímetro de un rectángulo es 48 cm. Si sus lados estánen razón 5 : 3, ¿Cuánto mide su área?

Con cuidado ya que si nos hablan del perímetro hay que considerar los 4 lados.
Por lo tanto: 5p + 3p + 5p + 3p = 48
16p = 48
p = 3
Luego los lados del rectángulo miden
5p = 53 = 15 cm y 3p = 33 = 9 cm
El área del rectángulo es largo por ancho, o sea 15 cm por 9 cm = 135 cm2.

4. Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60.¿Cuáles son los números?

5p - 2p = 60
3p = 60
p = 20
Los números son 5p = 520 = 100 y 2p = 220 = 40

Con los 4 ejemplos dados espero se te haya aclarado el significado y la utilización de las razones, que como ves es de gran importancia para resolver algunos tipos de ejercicios.

Proporción: Es la igualdad entre dos razones.
Por ejemplo, tenemos las razones 2 es a 5 y 6 es a 15Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones

2 : 5 = 0,4 y 6 : 15 = 0,4

Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así:

2 : 5 = 6 : 15

Para verificar esta proporción efectuamos el producto de los extremos 2·15 y el producto de los medios 5·6, como ambos dan 30 entonces la proporción es correcta.

En forma general:

a : b= c : d a·d = b·c


Proporcionalidad Directa:

Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente es constante.



Ejercicio: Por 500 fotocopias me cobran $ 15.000, ¿Cuánto deberé pagar por 100 fotocopias?

Analizar que si baja la cantidad de fotocopias, obviamente bajará la cantidad a cancelar. En estos casos estamos hablando de una proporción directa.



500x= 1.500.000

x = 3.000
Por las 100 fotocopias se pagará $ 3.000.
Revisa el siguiente cuadro para entender mejor lo que significa la constante k.

a=n° de fotocopias
b=dinero a cancelar
a/b
k
100
$ 3.000
100 : 3000
0,03...
200
$ 6.000
200 : 6000
0,03...
300
$ 9.000
300 : 9000
0,03...
400
$ 12.000
400 : 12000
0,03...
500
$ 15.000
400 : 15000
0,03...
Veamos ahora larepresentación gráfica de una proporcionalidad directa:

Si un sobre vale $ 30, entonces 2 sobres valen $ 60 y 5 sobres valen $ 150. Graficamente lo podemos representar asi:




















Proporcionalidad Inversa:

Dos cantidades a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante.
a · b = k
para ambos casos, k recibe el nombre de constante de...